Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Periodo:$$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{60} = 1{,}67\cdot 10^{-2}\ \text{s}$$Diferencia de fase entre dos puntos separados $\Delta x = 0{,}15\ \text{m}$ en el mismo instante:$$\Delta\varphi = k\,\Delta x = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x$$Tomamos la diferencia de fase como la del punto más cercano al origen menos la del más alejado, que es positiva (la onda llega antes a él y va adelantado). Como la fase solo está definida salvo múltiplos de $2\pi$, la condición es $\dfrac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$, con $n = 0, 1, 2\ldots$:$$\lambda_n = \frac{\Delta x}{\frac{1}{4} + n} = \frac{0{,}60}{1 + 4n}\ \text{m}\qquad v_n = \lambda_n\,f = \frac{36}{1 + 4n}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$

• $n = 0$: $\lambda = 0{,}60\ \text{m}$ y $v = 36\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$.
• $n = 1$: $\lambda = 0{,}12\ \text{m}$ y $v = 7{,}2\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$, menor que $10\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$: se descarta, igual que todas las de $n$ mayor.

La única solución compatible con el enunciado es $n = 0$: los dos puntos están separados un cuarto de longitud de onda.$$\lambda = 0{,}60\ \text{m}\qquad v = \lambda\,f = 0{,}60\cdot 60 = 36\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$b) En un punto fijo, la fase cambia con el tiempo a razón de $\omega = 2\pi f = 120\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$:$$\Delta\varphi = \omega\,\Delta t = 2\pi\cdot 60\cdot 0{,}01 = 1{,}2\,\pi\ \text{rad} = 3{,}77\ \text{rad}$$Equivale a decir que han pasado $\Delta t/T = 0{,}6$ periodos. (Restando una vuelta completa, es lo mismo que un desfase de $-0{,}8\,\pi$ rad: los dos desplazamientos no están en fase ni en oposición.)