Campo y potencial eléctrico

a) Módulo de la fuerza que ejerce cada carga $q$ sobre $Q$, con $R = 0{,}10\ \text{m}$:$$F_1 = K_0\,\frac{q\,|Q|}{R^2} = 9{,}00\cdot 10^{9}\cdot\frac{3\cdot 10^{-6}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{0{,}10^2} = 5{,}40\ \text{N}$$Cada fuerza va de $O$ hacia la carga correspondiente, en la dirección $(\cos\theta,\ \text{sen}\,\theta)$, con $\theta = 0^\circ, 45^\circ, 90^\circ, 135^\circ, 180^\circ$:$$\vec F = F_1\sum_{i}\left(\cos\theta_i\,\vec i + \text{sen}\,\theta_i\,\vec j\right)$$Componente $x$: $\ 1 + \cos 45^\circ + 0 - \cos 45^\circ - 1 = 0$ (se anulan por parejas simétricas).

Componente $y$: $\ 0 + \text{sen}\,45^\circ + 1 + \text{sen}\,45^\circ + 0 = 1 + \sqrt{2} = 2{,}414$.$$\vec F = 5{,}40\cdot\left(1 + \sqrt{2}\right)\vec j = 13{,}0\ \vec j\ \ \text{N}$$La fuerza resultante vale $13{,}0\ \text{N}$ y apunta según el eje $Y$ positivo, hacia la carga de lo alto del arco: $Q$ es atraída hacia el arco cargado.

b) Potencial en $O$ (el de cada carga es igual, porque todas están a la distancia $R$):$$V_O = 5\,K_0\,\frac{q}{R} = 5\cdot 9{,}00\cdot 10^{9}\cdot\frac{3\cdot 10^{-6}}{0{,}10} = 1{,}35\cdot 10^{6}\ \text{V}$$En un punto muy alejado, $V_\infty = 0$. El trabajo necesario (el de la fuerza externa que trae la carga sin acelerarla) es igual a la variación de su energía potencial:$$W_{\text{ext}} = \Delta E_p = Q\,(V_O - V_\infty) = -2\cdot 10^{-6}\cdot 1{,}35\cdot 10^{6} = -2{,}70\ \text{J}$$Interpretación del signo. El trabajo externo es negativo: no hace falta empujar la carga, porque las cargas positivas del arco atraen a $Q$, que es negativa. El propio campo realiza un trabajo positivo, $W_{\text{campo}} = -\Delta E_p = +2{,}70\ \text{J}$, y la fuerza externa tiene que frenar la carga (actuar en sentido contrario al desplazamiento) para que llegue a $O$ sin ganar energía cinética. La energía potencial del sistema disminuye en $2{,}70\ \text{J}$.