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Campo y potencial gravitatorio

Castilla y León · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Un meteorito de

350\ \text{kg}

que cae libremente hacia la Tierra, tiene una velocidad de

15\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

a una altura de

500\ \text{km}

sobre la superficie terrestre. Determine:

a) (0,75 puntos) El peso del meteorito a dicha altura.

b) (0,75 puntos) La velocidad con la que impactará sobre la superficie terrestre (despreciando la fricción con la atmósfera).

Datos (de la tabla de constantes del examen):

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

;

R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}

;

M_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}

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Resultado

\boxed{\;P = 2{,}96\cdot 10^{3}\ \text{N}\ \ (\text{hacia el centro de la Tierra})\;}

\boxed{\;v_{\text{impacto}} = 3{,}02\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El peso a esa altura es la fuerza gravitatoria de la Tierra,

P = G M_T m / r^2

, con

r = R_T + h

: a

500\ \text{km}

ya no vale

g_0

.

Sin rozamiento, la única fuerza es la gravitatoria, que es conservativa: se conserva la energía mecánica. Como la altura no es pequeña frente al radio terrestre, la energía potencial es

E_p = -G M_T m / r

, no

mgh

Desarrollo

a) Distancia al centro de la Tierra:

r_1 = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 5{,}00\cdot 10^{5} = 6{,}87\cdot 10^{6}\ \text{m}

Intensidad del campo gravitatorio a esa altura:

g_1 = \frac{G\,M_T}{r_1^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{(6{,}87\cdot 10^{6})^2} = 8{,}45\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

Peso del meteorito, dirigido hacia el centro de la Tierra:

P = m\,g_1 = 350\cdot 8{,}45 = 2{,}96\cdot 10^{3}\ \text{N}

b) Conservación de la energía mecánica entre la altura de

500\ \text{km}

(punto 1) y la superficie (punto 2):

\frac{1}{2}\,m\,v_1^2 - \frac{G\,M_T\,m}{r_1} = \frac{1}{2}\,m\,v_2^2 - \frac{G\,M_T\,m}{R_T}

La masa del meteorito se simplifica. Despejando:

v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2\,G\,M_T\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{r_1}\right)}

v_2 = \sqrt{15^2 + 2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\left(\frac{1}{6{,}37\cdot 10^{6}} - \frac{1}{6{,}87\cdot 10^{6}}\right)} = 3{,}02\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

La velocidad inicial apenas influye: casi toda la energía cinética final procede de la disminución de energía potencial (

4{,}56\cdot 10^{6}\ \text{J}

por kilogramo).

Consejo

A $500\ \text{km}$ de altura no se puede usar $g_0$ ni $mgh$ : el campo ya es un 14 % menor. Calcula $g$ con $r = R_T + h$ y plantea la energía con $E_p = -GMm/r$ .

Con $mgh$ y $g_0$ saldría unos $3{,}13\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$ : un resultado parecido, pero con una aproximación que a esa altura ya no vale (un 4 % de más).