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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla y León · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Dos ondas armónicas transversales se propagan por dos cuerdas a la misma velocidad en el sentido positivo del eje X. La primera tiene el doble de frecuencia que la segunda y se sabe que en el instante inicial, la elongación de los extremos izquierdos de ambas cuerdas es nula.

a) (0,75 puntos) Calcule la razón entre las longitudes de onda de ambas ondas.

b) (0,75 puntos) Para cada una de las ondas (y en el mismo instante de tiempo) determine la diferencia de fase (expresada en función de los respectivos números de ondas) para dos puntos que distan

3\ \text{m}

. Obtenga la relación entre dichas diferencias de fase.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{2}\qquad \Delta\varphi_1 = 3\,k_1,\ \ \Delta\varphi_2 = 3\,k_2\qquad \frac{\Delta\varphi_1}{\Delta\varphi_2} = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La velocidad de propagación relaciona longitud de onda y frecuencia:

v = \lambda f

. Si las dos ondas van a la misma velocidad, la de doble frecuencia tiene la mitad de longitud de onda.

La fase de una onda que avanza hacia

+X

\omega t - kx

; en un mismo instante, la diferencia de fase entre dos puntos solo depende de su separación:

\Delta\varphi = k\,\Delta x

. Como

k = 2\pi/\lambda

, la onda de menor longitud de onda acumula más desfase.

Desarrollo

a) Datos:

v_1 = v_2 = v

f_1 = 2 f_2

. De

v = \lambda f

\lambda_1 = \frac{v}{f_1} = \frac{v}{2 f_2}\qquad \lambda_2 = \frac{v}{f_2}

\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{f_2}{f_1} = \frac{1}{2}

La primera onda tiene la mitad de longitud de onda que la segunda.

b) Como la elongación del extremo izquierdo (

x = 0

) es nula en

t = 0

, la fase inicial es cero y cada onda se puede escribir:

y_i(x,t) = A_i\,\text{sen}\,(\omega_i t - k_i x)\qquad i = 1, 2

En un mismo instante

t

, para dos puntos

x_A

x_B = x_A + 3\ \text{m}

\Delta\varphi_i = (\omega_i t - k_i x_A) - (\omega_i t - k_i x_B) = k_i\,(x_B - x_A) = 3\,k_i\ \ (\text{rad, con } k_i \text{ en m}^{-1})

Es decir,

\Delta\varphi_1 = 3\,k_1

\Delta\varphi_2 = 3\,k_2

. Como

k = 2\pi/\lambda

\lambda_1 = \lambda_2/2

k_1 = \frac{2\pi}{\lambda_1} = \frac{2\pi}{\lambda_2/2} = 2\,k_2

\frac{\Delta\varphi_1}{\Delta\varphi_2} = \frac{3\,k_1}{3\,k_2} = 2

La diferencia de fase entre los dos puntos es el doble en la primera onda: en esos 3 m «caben» el doble de longitudes de onda de la primera que de la segunda.

Consejo

La frecuencia la fija el foco y la velocidad la fija el medio; la longitud de onda es la que se ajusta: $\lambda = v/f$ . Con la misma velocidad, más frecuencia significa menos $\lambda$ .

El desfase entre dos puntos en el mismo instante es siempre $k\,\Delta x$ : el término $\omega t$ se cancela al restar las fases.