FísicaFácil1,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

Castilla y León · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

a) (0,75 puntos) Calcule la energía potencial gravitatoria de un satélite de masa

m = 100\ \text{kg}

que está orbitando a una altura de

1000\ \text{km}

sobre la superficie terrestre.

b) (0,75 puntos) Explique si para el cálculo anterior podría utilizarse la expresión

E = m\,g\,h

.

Datos (de la tabla de constantes del examen):

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

;

R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}

;

M_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}

;

g_0 = 9{,}80\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;E_p = -5{,}41\cdot 10^{9}\ \text{J}\;}

No se puede usar

mgh

: exige

h \ll R_T

(aquí

g

baja de

9{,}80

7{,}34\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

) y mide energías desde el suelo, no desde el infinito.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La energía potencial gravitatoria de una masa a distancia

r

del centro de la Tierra es

E_p = -G M_T m/r

, con el origen de energías en el infinito. La distancia es el radio terrestre más la altura.

En b) hay que ver qué supone

mgh

: un campo uniforme (válido solo cerca del suelo) y el origen de energías en la superficie. Ninguna de las dos cosas se cumple aquí, y se puede cuantificar el error.

Desarrollo

a) Distancia del satélite al centro de la Tierra:

r = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 1{,}00\cdot 10^{6} = 7{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}

Energía potencial gravitatoria (origen en el infinito):

E_p = -\frac{G\,M_T\,m}{r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 100}{7{,}37\cdot 10^{6}} = -5{,}41\cdot 10^{9}\ \text{J}

Es negativa: el satélite está ligado a la Tierra y habría que darle

5{,}41\cdot 10^{9}\ \text{J}

para llevarlo al infinito.

b) No. La expresión

E_p = m g h

tiene dos limitaciones:

Supone $g$ constante, lo que solo es aceptable si $h \ll R_T$ . Aquí $h = 1000\ \text{km}$ es un 16 % del radio terrestre y la gravedad ya ha cambiado bastante:

g(h) = \frac{G\,M_T}{(R_T+h)^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{(7{,}37\cdot 10^{6})^2} = 7{,}34\ \text{m}\,\text{s}^{-2}\quad\text{frente a}\quad g_0 = 9{,}80\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

Toma el origen de energías en la superficie, así que no da la energía potencial que se pide en a) (con origen en el infinito y negativa), sino la variación de energía potencial entre el suelo y la órbita.

Incluso para esa variación da un valor erróneo. La variación real es:

\Delta E_p = G\,M_T\,m\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T+h}\right) = 8{,}50\cdot 10^{8}\ \text{J}

mientras que

m\,g_0\,h = 100\cdot 9{,}80\cdot 1{,}00\cdot 10^{6} = 9{,}80\cdot 10^{8}\ \text{J}

, un 15 % más: al usar

g_0

en todo el recorrido se sobrestima la atracción en las capas altas.

Consejo

$E_p = mgh$ es una aproximación de $E_p = -GMm/r$ para alturas pequeñas frente al radio del planeta. En cuanto la altura es de cientos de kilómetros, usa siempre la expresión general.

Recuerda sumar el radio: $r = R_T + h$ . Es el error más frecuente en este tipo de ejercicios.