Núcleo atómico y reacciones nucleares

a) De $\lambda = h/p$, si $\lambda_p = \lambda_e$ entonces los momentos lineales son iguales: $p_p = p_e = p$.

La energía cinética en función del momento (en régimen no relativista) es:$$E_c = \frac{1}{2}\,m\,v^2 = \frac{(m\,v)^2}{2\,m} = \frac{p^2}{2\,m}$$Con el mismo $p$, el cociente de energías cinéticas es el inverso del de las masas:$$\frac{E_{c,p}}{E_{c,e}} = \frac{p^2/(2\,m_p)}{p^2/(2\,m_e)} = \frac{m_e}{m_p} = \frac{9{,}11\cdot 10^{-31}}{1{,}67\cdot 10^{-27}} = 5{,}46\cdot 10^{-4}$$O al revés, $E_{c,e}/E_{c,p} = 1{,}83\cdot 10^{3}$: para tener la misma longitud de onda, el electrón necesita unas 1830 veces más energía cinética que el protón, porque su masa es mucho menor.

b) Partícula $X$. Sea $X = {}^{A}_{Z}X$. Conservación del número másico y del número atómico:$$A:\ 2 + 3 = 4 + A\ \Rightarrow\ A = 1\qquad Z:\ 1 + 1 = 2 + Z\ \Rightarrow\ Z = 0$$Una partícula de número másico 1 y carga nula es un neutrón, ${}^{1}_{0}n$:$${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \rightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{1}_{0}n + E$$Energía liberada. Defecto de masa (masa de los reactivos menos masa de los productos):$$\Delta m = (2{,}0141 + 3{,}0160) - (4{,}0039 + 1{,}0087) = 0{,}0175\ \text{u}$$$$\Delta m = 0{,}0175\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27} = 2{,}905\cdot 10^{-29}\ \text{kg}$$Por la equivalencia masa-energía de Einstein:$$E = \Delta m\,c^2 = 2{,}905\cdot 10^{-29}\cdot\left(3{,}00\cdot 10^{8}\right)^2 = 2{,}61\cdot 10^{-12}\ \text{J}$$En electronvoltios:$$E = \frac{2{,}6145\cdot 10^{-12}}{1{,}60\cdot 10^{-19}} = 1{,}63\cdot 10^{7}\ \text{eV} = 16{,}3\ \text{MeV}$$La masa de los productos es menor que la de los reactivos, así que la reacción desprende energía (sobre todo como energía cinética del neutrón). Es la reacción de fusión que se ensaya en los reactores experimentales como ITER.

(La masa del helio que da el enunciado, $4{,}0039\ \text{u}$, es algo mayor que la real: los valores del deuterio y el tritio son masas atómicas, y la masa atómica del helio-4 es $4{,}0026\ \text{u}$. Con ella la energía liberada sería unos $17{,}6\ \text{MeV}$, el valor que se cita siempre para esta reacción. En el examen se usan los datos dados.)