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Campo magnético creado por corrientes

Castilla y León · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

a) (1,5 puntos) Una corriente eléctrica circula por un conductor rectilíneo indefinido. Describa las características del campo magnético que crea y represente las líneas de campo.

b) (1,5 puntos) Se tienen dos conductores rectilíneos e indefinidos, dispuestos paralelamente, por los que circulan corrientes eléctricas de la misma intensidad y sentido contrario. Realice un esquema explicativo de la fuerza que actúa sobre cada conductor. ¿Cuál es el módulo de la fuerza por unidad de longitud sobre cada conductor?

Datos (de la tabla de constantes del examen):

\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{N}\,\text{A}^{-2}

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Resultado

Hilo:

B = \mu_0 I/(2\pi r)

, líneas circulares concéntricas con sentido dado por la regla de la mano derecha.

\boxed{\;\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\,I^2}{2\pi\,d} = 2\cdot 10^{-7}\,\frac{I^2}{d}\ \text{N/m},\ \text{de repulsión}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El campo de un hilo recto e indefinido tiene módulo

B = \mu_0 I/(2\pi r)

, es tangente a circunferencias centradas en el hilo y su sentido lo da la regla de la mano derecha. En b), cada hilo está dentro del campo del otro y sufre la fuerza

\vec F = I\,\vec L\times\vec B

: con corrientes de sentidos opuestos las fuerzas son de repulsión. Como el enunciado no da ni la intensidad ni la distancia, el módulo se expresa en función de

I

y de la separación

d

Desarrollo

a) Un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente

I

crea a su alrededor un campo magnético con estas características:

Módulo: en un punto a distancia $r$ del hilo, $B = \dfrac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}$ , con $B$ en teslas, $I$ en amperios, $r$ en metros y $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{N}\,\text{A}^{-2}$ la permeabilidad magnética del vacío. Es proporcional a la intensidad e inversamente proporcional a la distancia (no a su cuadrado). Se obtiene con la ley de Biot y Savart o con el teorema de Ampère.
Dirección: perpendicular al hilo y a la recta que une el punto con el hilo; es decir, tangente a la circunferencia centrada en el hilo que pasa por el punto, en un plano perpendicular al conductor.
Sentido: el que indica la regla de la mano derecha: con el pulgar en el sentido de la corriente, los demás dedos se curvan en el sentido del campo.

Líneas de campo: son circunferencias concéntricas con el hilo, contenidas en planos perpendiculares a él y recorridas en el sentido que da la regla de la mano derecha. Son líneas cerradas (no hay polos magnéticos aislados) y están más juntas cerca del hilo, donde el campo es más intenso. Visto el hilo de frente, con la corriente saliendo del papel (un punto

\odot

), las circunferencias se recorren en sentido antihorario; con la corriente entrando (

\otimes

), en sentido horario.

b) Esquema. Dibujamos los dos hilos verticales, separados una distancia

d

: el hilo 1 a la izquierda, con la corriente

I

hacia arriba, y el hilo 2 a la derecha, con la corriente

I

hacia abajo.

Campo del hilo 1 en la posición del hilo 2 (a su derecha): por la regla de la mano derecha, entrante en el papel ( $\otimes$ ), de módulo $B_1 = \mu_0 I/(2\pi d)$ .
Fuerza sobre el hilo 2: $\vec F_{12} = I\,\vec L_2\times\vec B_1$ , con $\vec L_2$ hacia abajo y $\vec B_1$ entrante: la fuerza apunta hacia la derecha, alejándose del hilo 1.
Campo del hilo 2 en la posición del hilo 1 (a su izquierda): también entrante ( $\otimes$ ). Fuerza sobre el hilo 1: $\vec L_1$ hacia arriba por $\vec B_2$ entrante da una fuerza hacia la izquierda, alejándose del hilo 2.

Las dos fuerzas son iguales en módulo y opuestas (acción y reacción): los conductores se repelen. Es la regla general: corrientes paralelas del mismo sentido se atraen y de sentidos opuestos se repelen.

Módulo de la fuerza por unidad de longitud. Como

\vec L

\vec B

son perpendiculares,

F = I\,L\,B

\frac{F}{L} = I\,B = I\,\frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d} = \frac{\mu_0\,I^2}{2\pi\,d}

Con el valor de

\mu_0

\frac{F}{L} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\,I^2}{2\pi\,d} = 2\cdot 10^{-7}\,\frac{I^2}{d}\ \ \text{N}/\text{m}

con

I

en amperios y

d

en metros. Por ejemplo, con

I = 1\ \text{A}

d = 1\ \text{m}

la fuerza es

2\cdot 10^{-7}\ \text{N}

por metro (era la antigua definición del amperio).

Consejo

Para la fuerza entre hilos, haz siempre el esquema en dos pasos: primero el campo de un hilo en el sitio del otro, y luego $I\,\vec L\times\vec B$ . Así no dependes de recordar si se atraen o se repelen.

Si el enunciado no da números, la respuesta es la expresión: deja $I$ y $d$ como letras y di el sentido de las fuerzas.