Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) La gravedad a una distancia $r$ del centro de la Tierra y en la superficie son$$g(r) = \frac{G\,M_T}{r^2}\qquad g_0 = \frac{G\,M_T}{R_T^2}$$La condición del enunciado, $g(r) = g_0/5$, da:$$\frac{G\,M_T}{r^2} = \frac{1}{5}\,\frac{G\,M_T}{R_T^2}\quad\Longrightarrow\quad r^2 = 5\,R_T^2\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt 5\,R_T = \sqrt 5\cdot 6{,}37\cdot 10^{6} = 1{,}42\cdot 10^{7}\ \text{m}$$La altura sobre la superficie es $h = r - R_T = 7{,}87\cdot 10^{6}\ \text{m}$.

En la órbita circular, la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:$$\frac{G\,M_T\,m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r\quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M_T}}$$$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\left(1{,}4244\cdot 10^{7}\right)^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}} = 1{,}69\cdot 10^{4}\ \text{s}$$Son unas $4{,}70$ horas.

b) Para un satélite en órbita circular, la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial, y la energía mecánica es:$$E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}\,\frac{G\,M_T\,m}{r} - \frac{G\,M_T\,m}{r} = -\frac{G\,M_T\,m}{2\,r}$$$$E_m = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 250}{2\cdot 1{,}4244\cdot 10^{7}} = -3{,}50\cdot 10^{9}\ \text{J}$$Es negativa, como corresponde a un satélite ligado a la Tierra.

(También se puede trabajar con $g_0 = 9{,}80\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$ de la tabla: a la altura de la órbita $g = 1{,}96\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$ es la aceleración centrípeta, $T = 2\pi\sqrt{r/g}$ y $E_m = -\tfrac12\,m\,g\,r$. Sale $T = 1{,}69\cdot 10^{4}\ \text{s}$ y $E_m = -3{,}49\cdot 10^{9}\ \text{J}$; la pequeña diferencia viene de que los datos de la tabla no cumplen exactamente $g_0 = GM_T/R_T^2$.)