Inducción electromagnética

a) El flujo magnético a través de una superficie plana $S$ en un campo uniforme $\vec B$ es$$\Phi = \vec B\cdot\vec S = B\,S\cos\theta$$donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec B$ y el vector superficie (perpendicular a la espira). Se mide en weber ($1\ \text{Wb} = 1\ \text{T}\,\text{m}^2$).

Ley de Faraday. Siempre que varía el flujo magnético que atraviesa un circuito se induce en él una fuerza electromotriz, igual a la rapidez con que cambia ese flujo:$$\varepsilon = -N\,\frac{d\Phi}{dt}$$$\varepsilon$ es la f.e.m. inducida (en voltios), $N$ el número de espiras y $d\Phi/dt$ la variación del flujo por unidad de tiempo (en $\text{Wb}/\text{s}$). El flujo puede cambiar porque cambia $B$, porque cambia el área $S$ o porque cambia el ángulo $\theta$ (espira que gira, como en un alternador). Si el circuito está cerrado, la f.e.m. hace circular una corriente inducida $I = \varepsilon/R$. Lo que importa es que el flujo cambie: un imán quieto junto a una espira, por intenso que sea, no induce nada.

Ley de Lenz. El sentido de la corriente inducida es tal que el campo magnético que ella misma crea se opone a la variación de flujo que la produce. Es la razón del signo menos de la ley de Faraday, y es una consecuencia de la conservación de la energía: si la corriente favoreciera el cambio, se alimentaría a sí misma sin gastar nada.

Ejemplo. Acercamos el polo norte de un imán a una espira conductora conectada a un galvanómetro. Mientras el imán se acerca, el flujo que atraviesa la espira aumenta y la aguja se mueve: hay corriente inducida (Faraday), y es mayor cuanto más deprisa movemos el imán. El sentido de esa corriente es el que crea, en la cara de la espira que mira al imán, un polo norte, que repele al imán y se opone a que el flujo crezca (Lenz). Si alejamos el imán, el flujo disminuye y la corriente circula al revés: la espira presenta un polo sur que lo atrae. Con el imán quieto, la aguja vuelve a cero.

b) La espira tiene área constante y el campo es perpendicular a su plano ($\theta = 0$):$$S = \pi R^2 = \pi\,(0{,}05)^2 = 7{,}85\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2\qquad \Phi(t) = B(t)\,S = \pi R^2\left(10 + 5t^2 - t^3\right)$$Por la ley de Faraday (una sola espira):$$\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\pi R^2\,\frac{dB}{dt} = -\pi R^2\left(10\,t - 3\,t^2\right)$$En $t = 3\ \text{s}$:$$\left.\frac{dB}{dt}\right|_{t=3} = 10\cdot 3 - 3\cdot 3^2 = 3\ \text{T}\,\text{s}^{-1}$$$$\varepsilon(3) = -7{,}854\cdot 10^{-3}\cdot 3 = -2{,}36\cdot 10^{-2}\ \text{V}$$El módulo de la f.e.m. es $23{,}6\ \text{mV}$. El signo menos indica que, como en ese instante el campo (y el flujo) está aumentando, la corriente inducida circula en el sentido que crea un campo opuesto a $\vec B$ en el interior de la espira.