Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Pasamos los datos al SI:$$T = 24{,}6229\ \text{h}\cdot 3600\ \tfrac{\text{s}}{\text{h}} = 88\,642\ \text{s}\qquad r = 20\,425\ \text{km} = 2{,}0425\cdot 10^{7}\ \text{m}$$La fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta del satélite (de masa $m$):$$\frac{G\,M\,m}{r^2} = m\,\omega^2 r = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r$$Despejando la masa de Marte:$$M = \frac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2} = \frac{4\pi^2\,\left(2{,}0425\cdot 10^{7}\right)^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 88\,642^2} = 6{,}42\cdot 10^{23}\ \text{kg}$$Es unas diez veces menor que la de la Tierra, como cabe esperar de Marte.

b) La velocidad de escape es la que hace nula la energía mecánica en la superficie:$$\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - \frac{G\,M\,m}{R} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$$Despejamos el radio, con $v_e = 5027\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$:$$R = \frac{2\,G\,M}{v_e^2} = \frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}4185\cdot 10^{23}}{5027^2} = 3{,}39\cdot 10^{6}\ \text{m}$$Es decir, unos $3390\ \text{km}$, algo más de la mitad del radio terrestre. El satélite areoestacionario está, por tanto, a unos $17\,000\ \text{km}$ de altura sobre la superficie.