FísicaMedioProblema · 3 pts

Campo y potencial gravitatorio

También trata: Satélites, órbitas y leyes de Kepler
Castilla-La Mancha · 2017 · Junio · Opción B
Enunciado
Un asteroide de 1013 kg10^{13}\,\text{kg} viaja directamente en rumbo de colisión hacia un planeta de masa 6,39⋅1023 kg6{,}39\cdot 10^{23}\,\text{kg}. Cuando se encuentra a una distancia de 20 000 km20\,000\,\text{km} del centro, su velocidad respecto al planeta es de 4 km/s4\,\text{km/s}.

(a) Calcular la energía mecánica del asteroide.

(b) Si el radio del planeta es 3390 km3390\,\text{km}, calcular la velocidad del asteroide en el momento del impacto contra la superficie planetaria y, suponiendo que toda la energía cinética se convierte en calor, calcular la energía desprendida en el choque.

(c) Este planeta tiene un pequeño satélite que describe una órbita circular con una velocidad de 2,69 km/s2{,}69\,\text{km/s}. ¿A qué altura sobre la superficie se encuentra dicho satélite?

Dato: constante de gravitación G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}
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Resultado
  Em=5,87⋅1019 Jvimpacto=6,07 km/sE=1,84⋅1020 Jh=2500 km  \boxed{\;E_m = 5{,}87\cdot 10^{19}\ \text{J}\qquad v_{\text{impacto}} = 6{,}07\ \text{km/s}\qquad E = 1{,}84\cdot 10^{20}\ \text{J}\qquad h = 2500\ \text{km}\;}
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Estrategia

La energía mecánica es 12mv2−GMm/r\tfrac12 mv^2 - GMm/r y se conserva durante la caída (solo actúa la gravedad). En la superficie, toda ella menos la potencial es energía cinética. Para el satélite, v2=GM/rv^2 = GM/r.
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Desarrollo

GM=6,67⋅10−11⋅6,39⋅1023=4,26⋅1013 N m2/kgGM = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}39\cdot 10^{23} = 4{,}26\cdot 10^{13}\,\text{N m}^2/\text{kg}; r0=2⋅107 mr_0 = 2\cdot 10^7\,\text{m}.

(a)Em=12mv2−GMmr0=12⋅1013⋅(4⋅103)2−4,26⋅1013⋅10132⋅107=8,00⋅1019−2,13⋅1019=5,87⋅1019 JE_m = \frac12 m v^2 - \frac{GMm}{r_0} = \frac12\cdot 10^{13}\cdot(4\cdot 10^3)^2 - \frac{4{,}26\cdot 10^{13}\cdot 10^{13}}{2\cdot 10^7} = 8{,}00\cdot 10^{19} - 2{,}13\cdot 10^{19} = 5{,}87\cdot 10^{19}\ \text{J}(Es positiva: el asteroide no está ligado al planeta; viene de lejos con velocidad de sobra.)

(b) En la superficie, R=3,39⋅106 mR = 3{,}39\cdot 10^6\,\text{m}:Ec=Em+GMmR=5,87⋅1019+4,26⋅1013⋅10133,39⋅106=1,84⋅1020 JE_c = E_m + \frac{GMm}{R} = 5{,}87\cdot 10^{19} + \frac{4{,}26\cdot 10^{13}\cdot 10^{13}}{3{,}39\cdot 10^6} = 1{,}84\cdot 10^{20}\ \text{J}v=2Ecm=2⋅1,84⋅10201013=6,07⋅103 m/sv = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}84\cdot 10^{20}}{10^{13}}} = 6{,}07\cdot 10^{3}\ \text{m/s}La energía desprendida en el choque es esa energía cinética: 1,84⋅1020 J1{,}84\cdot 10^{20}\,\text{J}.

(c)r=GMv2=4,26⋅1013(2,69⋅103)2=5,89⋅106 mh=r−R=5,89⋅106−3,39⋅106=2,50⋅106 mr = \frac{GM}{v^2} = \frac{4{,}26\cdot 10^{13}}{(2{,}69\cdot 10^3)^2} = 5{,}89\cdot 10^{6}\ \text{m} \qquad h = r - R = 5{,}89\cdot 10^6 - 3{,}39\cdot 10^6 = 2{,}50\cdot 10^{6}\ \text{m}
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Consejo

Una energía mecánica positiva significa trayectoria abierta (no ligada). Comprueba siempre el signo: te dice si el cuerpo puede escapar o no.
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