FísicaMedioProblema · 3 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla-La Mancha · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

En un medio elástico se propagan simultáneamente dos ondas transversales dadas por las ecuaciones

y_1

y_2

siguientes (las amplitudes de ambas son longitudes, y todos los parámetros se expresan en unidades SI):

y_1 = 0{,}12\sin\left(\frac{\pi x}{2} + 32\pi t\right)\qquad y_2 = 0{,}12\sin\left(\frac{\pi x}{2} + 32\pi t + \frac{\pi}{2}\right)

Ayuda:

\sin a + \sin b = 2\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\sin\left(\dfrac{a+b}{2}\right)

(a) Calcular la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación y el sentido de propagación.

(b) Calcular la ecuación de onda resultante de la interferencia de las dos ondas dadas.

(c) Determinar la velocidad de vibración transversal y la aceleración del punto

x = 0

en el instante

t = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f = 16\ \text{Hz}\qquad \lambda = 4\ \text{m}\qquad v = 64\ \text{m/s (hacia } -X)\qquad y = 0{,}170\sin\left(\frac{\pi x}{2} + 32\pi t + \frac{\pi}{4}\right)\ \text{m}\;}

\boxed{\;v_y(0,0) = 12{,}1\ \text{m/s}\qquad a_y(0,0) = -1{,}21\cdot 10^{3}\ \text{m/s}^2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos ondas tienen

k = \pi/2\,\text{rad/m}

\omega = 32\pi\,\text{rad/s}

y solo difieren en la fase (

\pi/2

). Con la ayuda, la suma es otra onda igual con amplitud

2A\cos(\pi/4)

y fase

\pi/4

. Después se deriva respecto del tiempo.

Desarrollo

(a)

f = \frac{\omega}{2\pi} = 16\ \text{Hz}\qquad \lambda = \frac{2\pi}{k} = 4\ \text{m}\qquad v = \lambda f = 64\ \text{m/s}

Los términos en

x

y en

t

tienen el mismo signo: las ondas avanzan en el sentido negativo del eje $X$ .

(b) Con

a - b = -\pi/2

y = y_1 + y_2 = 2\cdot 0{,}12\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi x}{2} + 32\pi t + \frac{\pi}{4}\right) = 0{,}170\,\sin\left(\frac{\pi x}{2} + 32\pi t + \frac{\pi}{4}\right)\ \text{m}

(c)

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}170\cdot 32\pi\cos\left(\frac{\pi x}{2} + 32\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \quad\Longrightarrow\quad v_y(0,0) = 0{,}170\cdot 32\pi\cdot\cos\frac{\pi}{4} = 12{,}1\ \text{m/s}

a_y(0,0) = -\omega^2\,y(0,0) = -(32\pi)^2\cdot 0{,}170\sin\frac{\pi}{4} = -(32\pi)^2\cdot 0{,}12 = -1{,}21\cdot 10^{3}\ \text{m/s}^2

Consejo

La interferencia de dos ondas iguales desfasadas da otra onda de la misma frecuencia y longitud de onda: solo cambian la amplitud ( $2A\cos(\Delta\varphi/2)$ ) y la fase.