FísicaFácil2 pts

Movimiento armónico simple

Cataluña · 2017 · Junio · Opción B
Enunciado
La aguja de una máquina de coser oscila con un desplazamiento vertical de 15 mm15\ \text{mm} de un extremo al otro. En las especificaciones del fabricante, se indica que la aguja realiza 1 200 puntadas por minuto. Suponga que la aguja describe un movimiento armónico simple.

a) Escriba la ecuación del movimiento y represente la gráfica posición-tiempo durante dos períodos, suponiendo que en el instante inicial la aguja se encuentra en la posición más alta.

b) Calcule la velocidad y la aceleración máximas de la aguja.
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Resultado
  y(t)=7,5×10−3sin⁡(40π t+π2) (SI)    T=0,05 s  \boxed{\;y(t) = 7{,}5\times 10^{-3}\sin\left(40\pi\,t + \frac{\pi}{2}\right)\ \text{(SI)}\;}\qquad \boxed{\;T = 0{,}05\ \text{s}\;}  vmax=0,94 m/s    amax=118 m/s2  \boxed{\;v_{max} = 0{,}94\ \text{m/s}\;}\qquad \boxed{\;a_{max} = 118\ \text{m/s}^2\;}
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Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a)

0,1 p. y(t)=Asin⁡(ωt+φ0)y(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)

0,2 p. A=15×10−32=7,5×10−3 mA = \dfrac{15\times 10^{-3}}{2} = 7{,}5\times 10^{-3}\ \text{m}

0,2 p. ω=2πf=2π 120060=40π rad/s\omega = 2\pi f = 2\pi\,\dfrac{1200}{60} = 40\pi\ \text{rad/s}

0,2 p. y(0)=Asin⁡φ0=A→sin⁡φ0=1→φ0=π2 rady(0) = A\sin\varphi_0 = A \rightarrow \sin\varphi_0 = 1 \rightarrow \varphi_0 = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}

0,1 p. y(t)=7,5×10−3 m⋅sin⁡(40π rads t+π2)y(t) = 7{,}5\times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\sin\left(40\pi\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}\,t + \dfrac{\pi}{2}\right)

También será válida la expresión con coseno (φ0=0\varphi_0 = 0).

0,2 p.
Gráfica de y (m) frente a t (s): cosinusoide de amplitud A que empieza en el máximo en t = 0; marcas en 0,002 m en el eje vertical y en 0,02 s en el horizontal
Gráfica de y (m) frente a t (s): cosinusoide de amplitud A que empieza en el máximo en t = 0; marcas en 0,002 m en el eje vertical y en 0,02 s en el horizontal
T=2πω=2π40π=0,05 sT = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{40\pi} = 0{,}05\ \text{s}b)

0,4 p.v(t)=dydt=Aωcos⁡(ωt+π2)v(t) = \frac{dy}{dt} = A\omega\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)a(t)=dvdt=−Aω2sin⁡(ωt+π2)a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)El valor máximo de la velocidad se obtiene cuando el coseno vale 1, y el de la aceleración, cuando el seno es −1-1.

0,3 p. vmax=Aω=7,5×10−3⋅40π=0,94 m s−1v_{max} = A\omega = 7{,}5\times 10^{-3}\cdot 40\pi = 0{,}94\ \text{m s}^{-1}

0,3 p. amax=Aω2=7,5×10−3⋅(40π)2=118 m s−2a_{max} = A\omega^2 = 7{,}5\times 10^{-3}\cdot (40\pi)^2 = 118\ \text{m s}^{-2}

No es necesaria la demostración de los valores máximos.

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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