FísicaFácil2 pts

Campo y potencial gravitatorio

Cataluña · 2017 · Septiembre

Enunciado

La gráfica siguiente muestra la variación de la energía potencial en función de la altura de un cuerpo de

2{,}00\ \text{kg}

de masa en la superficie de un planeta con un radio de

5\,000\ \text{km}

.

Energía potencial Ep (J) frente a la altura h (m): recta que pasa por el origen, por (10; 40), por (20; 80) y por (30; 120)

a) Calcule la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta y la masa de este.

b) Deduzca la expresión de la velocidad de escape a partir del principio de conservación de la energía y calcúlela.

Dato:

G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}

.

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Resultado

\boxed{\;g = 2\ \text{m/s}^2\;}\qquad \boxed{\;M = 7{,}50\times 10^{23}\ \text{kg}\;}\qquad \boxed{\;v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 4{,}47\times 10^{3}\ \text{m/s}\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Viendo que

R \gg h

y que, tal como se muestra en la gráfica, se considera que

E_p = 0

en la superficie del planeta, podemos expresar la energía potencial gravitatoria como

[E_p = mgh]

, en que

g

es la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta.

Ep (J) frente a h (m): la misma recta de la gráfica del enunciado

0,2 p.

\text{pendiente} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\Delta E_p}{\Delta h} = \dfrac{80}{20} = 4\ \text{J/m}

0,4 p.

E_p = mgh

\text{pendiente} = mg \Rightarrow g = \frac{\text{pendiente}}{m} = \frac{4}{2} = 2\ \text{m/s}^2

0,2 p.

g = \dfrac{GM}{R^2} \Rightarrow M = \dfrac{gR^2}{G}

0,2 p.

M = \dfrac{2\cdot\left(5\times 10^{6}\right)^2}{6{,}67\times 10^{-11}} = 7{,}50\times 10^{23}\ \text{kg}

b)

0,2 p. La deducción se basa en el principio de conservación de la energía mecánica. La energía mecánica en el infinito es cero.

0,6 p.

E_{\text{mecánica inicial}} = E_{\text{mecánica final}}

K_{inicial} + U_{inicial} = K_{final} + U_{final}

\frac{1}{2}mv_{esc}^2 - G\,\frac{Mm}{R} = 0 + 0 \Rightarrow v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

0,2 p.

v_{esc} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 6.67\times 10^{-11}\cdot 7{,}50\times 10^{23}}{5\times 10^{6}}} = 4{,}47\times 10^{3}\ \text{m/s}

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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