Efecto fotoeléctrico y cuantización

a) Principio de dualidad onda-corpúsculo (De Broglie, 1924): toda partícula material con cantidad de movimiento $p = mv$ lleva asociada una onda de longitud$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$$Así como la luz muestra comportamiento ondulatorio (interferencia, difracción) y corpuscular (efecto fotoeléctrico), la materia también tiene ambos aspectos. Se comprobó con la difracción de electrones en cristales.

Si el electrón y el neutrón se mueven con la misma velocidad, $\lambda$ es inversamente proporcional a la masa. Como $m_n \gg m_e$ (unas $1840$ veces mayor):$$\lambda_n = \frac{h}{m_n v} < \frac{h}{m_e v} = \lambda_e$$El neutrón tiene la longitud de onda asociada menor.

b) Que la lámina "comience a emitir" con $\lambda_0 = 2{,}5\cdot 10^{-7}\,\text{m}$ significa que esa es la longitud de onda umbral. El trabajo de extracción es$$W_0 = \frac{h c}{\lambda_0} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{2{,}5\cdot 10^{-7}} = 7{,}96\cdot 10^{-19}\,\text{J}$$Energía del fotón incidente ($\lambda = 5\cdot 10^{-8}\,\text{m}$):$$E = \frac{h c}{\lambda} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{5\cdot 10^{-8}} = 3{,}98\cdot 10^{-18}\,\text{J}$$Ecuación de Einstein:$$E_{c,\text{máx}} = E - W_0 = 3{,}98\cdot 10^{-18} - 7{,}96\cdot 10^{-19} = 3{,}18\cdot 10^{-18}\,\text{J}$$Velocidad máxima:$$E_{c,\text{máx}} = \tfrac{1}{2}m_e v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2E_{c,\text{máx}}}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\cdot 3{,}18\cdot 10^{-18}}{9{,}11\cdot 10^{-31}}}$$$$v = 2{,}64\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Es menos del $1\,\%$ de $c$, así que el tratamiento no relativista está justificado.