FísicaMedioProblema · 3 pts

Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Castilla-La Mancha · 2016 · Junio · Opción A
Enunciado
Dos partículas cargadas, P1P_1 y P2P_2, de masas iguales m=3⋅10−6 kgm = 3\cdot 10^{-6}\,\text{kg}, entran en una región donde existe un campo magnético uniforme perpendicular (B=0,50 TB = 0{,}50\,\text{T}) orientado según se indica en la figura. A su entrada, las dos partículas tienen la misma velocidad, v=200 m/sv = 200\,\text{m/s}. Una vez dentro, las partículas se separan siguiendo las trayectorias semicirculares indicadas, siendo x1=20 cmx_1 = 20\,\text{cm} y x2=50 cmx_2 = 50\,\text{cm}.
Las dos partículas entran hacia arriba por el mismo punto en un campo B saliente; P1 describe una semicircunferencia pequeña hacia la derecha (diámetro x1) y P2 una grande hacia la izquierda (diámetro x2)
Las dos partículas entran hacia arriba por el mismo punto en un campo B saliente; P1 describe una semicircunferencia pequeña hacia la derecha (diámetro x1) y P2 una grande hacia la izquierda (diámetro x2)
(a) Explicar razonadamente el signo de la carga de cada partícula y determinar el valor de dichas cargas.

(b) Calcular la energía cinética de las partículas y la aceleración debida a la fuerza magnética que actúa sobre cada una de ellas.

(c) Calcular el tiempo invertido por cada partícula en recorrer su respectiva trayectoria semicircular.
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Resultado
  q1=+1,2⋅10−2 Cq2=−4,8⋅10−3 CEc=0,06 Ja1=4⋅105 m/s2a2=1,6⋅105 m/s2t1=1,57 mst2=3,93 ms  \boxed{\;q_1 = +1{,}2\cdot 10^{-2}\ \text{C}\quad q_2 = -4{,}8\cdot 10^{-3}\ \text{C}\quad E_c = 0{,}06\ \text{J}\quad a_1 = 4\cdot 10^{5}\ \text{m/s}^2\quad a_2 = 1{,}6\cdot 10^{5}\ \text{m/s}^2\quad t_1 = 1{,}57\ \text{ms}\quad t_2 = 3{,}93\ \text{ms}\;}
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Estrategia

Con v⃗\vec v hacia arriba (+Y+Y) y B⃗\vec B saliente (+Z+Z), v⃗×B⃗\vec v\times\vec B apunta a la derecha: una carga positiva se curva a la derecha. Las distancias x1x_1 y x2x_2 son los diámetros, así que r=x/2r = x/2, y la fuerza magnética hace de fuerza centrípeta: ∣q∣vB=mv2/r|q|vB = mv^2/r.
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Desarrollo

(a) y^×z^=x^\hat y\times\hat z = \hat x: la fuerza sobre una carga positiva apunta hacia la derecha.
  • P1P_1 se curva hacia la derecha → carga positiva.
  • P2P_2 se curva hacia la izquierda → carga negativa.
∣q∣=mvrBr1=0,10 mr2=0,25 m|q| = \frac{mv}{rB}\qquad r_1 = 0{,}10\ \text{m}\qquad r_2 = 0{,}25\ \text{m}q1=3⋅10−6⋅2000,10⋅0,50=1,2⋅10−2 Cq2=−3⋅10−6⋅2000,25⋅0,50=−4,8⋅10−3 Cq_1 = \frac{3\cdot 10^{-6}\cdot 200}{0{,}10\cdot 0{,}50} = 1{,}2\cdot 10^{-2}\ \text{C}\qquad q_2 = -\frac{3\cdot 10^{-6}\cdot 200}{0{,}25\cdot 0{,}50} = -4{,}8\cdot 10^{-3}\ \text{C}(b) La fuerza magnética no cambia el módulo de la velocidad, así que las dos tienen la misma energía cinética:Ec=12mv2=12⋅3⋅10−6⋅2002=0,06 JE_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 10^{-6}\cdot 200^2 = 0{,}06\ \text{J}a1=v2r1=20020,10=4⋅105 m/s2a2=v2r2=20020,25=1,6⋅105 m/s2a_1 = \frac{v^2}{r_1} = \frac{200^2}{0{,}10} = 4\cdot 10^{5}\ \text{m/s}^2\qquad a_2 = \frac{v^2}{r_2} = \frac{200^2}{0{,}25} = 1{,}6\cdot 10^{5}\ \text{m/s}^2(c) Media vuelta a velocidad constante: t=πr/vt = \pi r/v.t1=π⋅0,10200=1,57⋅10−3 st2=π⋅0,25200=3,93⋅10−3 st_1 = \frac{\pi\cdot 0{,}10}{200} = 1{,}57\cdot 10^{-3}\ \text{s}\qquad t_2 = \frac{\pi\cdot 0{,}25}{200} = 3{,}93\cdot 10^{-3}\ \text{s}
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Consejo

En la figura las distancias marcadas son diámetros, no radios: es el error más habitual en este tipo de problemas.
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