FísicaMedioProblema · 3 pts

Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Castilla-La Mancha · 2016 · Septiembre · Opción A
Enunciado
Una partícula cargada positivamente que viaja a 1000 km/s1000\,\text{km/s} en la dirección del eje YY, sentido positivo, entra en una región donde hay un campo magnético uniforme de 0,01 T0{,}01\,\text{T} orientado en el sentido positivo del eje ZZ. Una vez dentro del campo magnético describe una trayectoria circular de 1,04 m1{,}04\,\text{m} de radio. Si la masa de esta partícula es 1,67⋅10−27 kg1{,}67\cdot 10^{-27}\,\text{kg}, se pide:

(a) Dibujar un esquema de la trayectoria que sigue dentro del campo magnético y calcular la carga de la partícula.

(b) Hallar la fuerza magnética que actúa sobre la partícula y la aceleración que produce sobre ella. Dibújese esquemáticamente dicha fuerza.

(c) ¿Cómo debería disponerse un campo eléctrico en la misma región donde existe el campo magnético para que la partícula atravesara dicha región sin desviarse? ¿Qué módulo, dirección y sentido debería tener ese campo eléctrico? Dibújese esquemáticamente.
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Resultado
  q=1,6⋅10−19 CF=1,6⋅10−15 Na=9,6⋅1011 m/s2E⃗=−104 x^ V/m  \boxed{\;q = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}\quad F = 1{,}6\cdot 10^{-15}\ \text{N}\quad a = 9{,}6\cdot 10^{11}\ \text{m/s}^2\quad \vec E = -10^{4}\,\hat x\ \text{V/m}\;}
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Estrategia

F⃗=q v⃗×B⃗\vec F = q\,\vec v\times\vec B da el sentido del giro. Igualando fuerza magnética y centrípeta, q=mv/(rB)q = mv/(rB). Para que no se desvíe, la fuerza eléctrica debe anular la magnética: qE⃗=−q v⃗×B⃗q\vec E = -q\,\vec v\times\vec B.
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Desarrollo

(a) Al entrar, v⃗=v y^\vec v = v\,\hat y y B⃗=B z^\vec B = B\,\hat z:F⃗=q vB (y^×z^)=qvB x^\vec F = q\,v B\,(\hat y\times\hat z) = qvB\,\hat xLa fuerza apunta hacia +X+X: la partícula gira describiendo una circunferencia en el plano XYXY en sentido horario visto desde +Z+Z (se curva hacia la derecha de su avance).qvB=mv2r⟹q=mvrB=1,67⋅10−27⋅1061,04⋅0,01=1,6⋅10−19 CqvB = \frac{mv^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad q = \frac{mv}{rB} = \frac{1{,}67\cdot 10^{-27}\cdot 10^{6}}{1{,}04\cdot 0{,}01} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}Es la carga del protón (y su masa también lo es).

(b) La fuerza siempre es perpendicular a la velocidad y apunta al centro de la circunferencia; en el punto de entrada, hacia +X+X:F=qvB=1,6⋅10−19⋅106⋅0,01=1,6⋅10−15 NF = qvB = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 10^{6}\cdot 0{,}01 = 1{,}6\cdot 10^{-15}\ \text{N}a=Fm=v2r=(106)21,04=9,6⋅1011 m/s2a = \frac{F}{m} = \frac{v^2}{r} = \frac{(10^{6})^2}{1{,}04} = 9{,}6\cdot 10^{11}\ \text{m/s}^2(c) Hace falta una fuerza eléctrica igual y opuesta, hacia −X-X. Como la carga es positiva, E⃗\vec E debe apuntar hacia −X-X: perpendicular a v⃗\vec v y a B⃗\vec B.qE=qvB⟹E=vB=106⋅0,01=104 V/mqE = qvB \quad\Longrightarrow\quad E = vB = 10^{6}\cdot 0{,}01 = 10^{4}\ \text{V/m}E⃗=−104 x^ V/m\vec E = -10^{4}\,\hat x\ \text{V/m}
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Consejo

En un selector de velocidades E=vBE = vB, y E⃗\vec E es perpendicular a la vez a la velocidad y al campo magnético.
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