FísicaMedioProblema · 3 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla-La Mancha · 2016 · Septiembre · Opción A

Enunciado

En una cuerda tensa de

4\,\text{m}

de longitud sujeta por ambos extremos se excita el primer armónico de una onda estacionaria, el cual presenta el aspecto visual que se muestra en el esquema. La ecuación de onda es

y = 0{,}04\sin\frac{\pi x}{4}\cos 32\pi t

donde

x

,

y

están en metros y

t

en segundos.

Primer armónico en una cuerda de 4 m: un solo vientre de 4 cm de amplitud en x = 2 m y nodos en los extremos

(a) ¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas transversales en esta cuerda? ¿Cuánto tiempo tarda la cuerda en una oscilación completa?

(b) ¿Con qué amplitud vibra la cuerda en el punto situado en la posición

x = 1\,\text{m}

de la figura? ¿Cuál es la máxima velocidad de vibración de ese punto?

(c) Calcular la frecuencia y longitud de onda del segundo armónico y escribir su ecuación, suponiendo que la amplitud se mantiene invariable.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;v = 128\ \text{m/s}\quad T = 0{,}0625\ \text{s}\quad A(1) = 2{,}83\ \text{cm}\quad v_{\max} = 2{,}84\ \text{m/s}\quad f_2 = 32\ \text{Hz}\quad \lambda_2 = 4\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

1

Estrategia

De la ecuación

y = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)

se leen

k = \pi/4\,\text{rad/m}

y

\omega = 32\pi\,\text{rad/s}

; la velocidad de las ondas es

v = \omega/k

. Cada punto vibra con amplitud

0{,}04\sin(kx)

. En el segundo armónico

\lambda_2 = L

y

f_2 = 2f_1

, porque la velocidad no cambia.

2

Desarrollo

(a)

\lambda = \frac{2\pi}{k} = 8\ \text{m}\qquad f = \frac{\omega}{2\pi} = 16\ \text{Hz}

v = \lambda f = 8\cdot 16 = 128\ \text{m/s}\qquad T = \frac{1}{f} = 0{,}0625\ \text{s}

(Se comprueba que

L = \lambda/2 = 4\,\text{m}

, como corresponde al primer armónico.)

(b)

A(1) = 0{,}04\sin\frac{\pi}{4} = 0{,}0283\ \text{m} = 2{,}83\ \text{cm}

v_{\max} = A(1)\,\omega = 0{,}0283\cdot 32\pi = 2{,}84\ \text{m/s}

(c) Con dos vientres,

L = \lambda_2

:

\lambda_2 = 4\ \text{m}\qquad f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{128}{4} = 32\ \text{Hz}

k_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\ \text{rad/m}\qquad \omega_2 = 2\pi\cdot 32 = 64\pi\ \text{rad/s}

y_2 = 0{,}04\sin\frac{\pi x}{2}\cos 64\pi t\ \ \text{(SI)}

3

Consejo

En una estacionaria, $v = \omega/k$ es la velocidad de las ondas viajeras que la forman, aunque el patrón no avance.

Paso 1 de 3

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