FísicaMedioProblema · 3 pts

Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Castilla-La Mancha · 2015 · Junio · Opción B
Enunciado
Un protón es acelerado con una diferencia de potencial de 104 V10^{4}\,\text{V} y seguidamente se introduce en el interior de un campo magnético de 5 T5\,\text{T} donde describe una trayectoria circular en sentido horario.

a) Calcular la velocidad del protón a la entrada del campo magnético.

b) Determinar la dirección de la inducción magnética y el valor del radio de la trayectoria.

c) Si hubiéramos introducido un electrón en el mismo acelerador y con las mismas condiciones, ¿qué radio tendría su órbita?

Datos: mp=1,673⋅10−27 kgm_p = 1{,}673\cdot 10^{-27}\,\text{kg}; me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}; ∣qe∣=∣qp∣=1,6⋅10−19 C|q_e| = |q_p| = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}.
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Resultado
  v=1,38⋅106 m/sB⃗ salienterp=2,89 mmre=6,75⋅10−5 m  \boxed{\;v = 1{,}38\cdot 10^{6}\ \text{m/s}\qquad \vec B\ \text{saliente}\qquad r_p = 2{,}89\ \text{mm}\qquad r_e = 6{,}75\cdot 10^{-5}\ \text{m}\;}
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Estrategia

(a) La energía eléctrica se convierte en cinética: qV=12mv2qV = \tfrac12 mv^2. (b) Con F⃗=q v⃗×B⃗\vec F = q\,\vec v\times\vec B se ve qué orientación de B⃗\vec B da giro horario; el radio es r=mv/(qB)r = mv/(qB). (c) Misma energía cinética, otra masa: r=2mV/q /Br = \sqrt{2mV/q}\,/B.
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Desarrollo

a)qV=12mpv2⟹v=2qVmp=2⋅1,6⋅10−19⋅1041,673⋅10−27=1,38⋅106 m/sqV = \frac{1}{2}m_pv^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2qV}{m_p}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 10^{4}}{1{,}673\cdot 10^{-27}}} = 1{,}38\cdot 10^{6}\ \text{m/s}b) El campo es perpendicular al plano de la trayectoria. Si el protón se mueve hacia +Y+Y y B⃗\vec B sale del papel (+Z+Z):F⃗=q vB (y^×z^)=qvB x^\vec F = q\,v B\,(\hat y\times\hat z) = qvB\,\hat xSe desvía hacia la derecha de su avance: gira en sentido horario visto desde delante del papel. Por tanto, B⃗\vec B es perpendicular al plano de la órbita y apunta hacia el observador (saliente).r=mpvqB=1,673⋅10−27⋅1,38⋅1061,6⋅10−19⋅5=2,89⋅10−3 mr = \frac{m_pv}{qB} = \frac{1{,}673\cdot 10^{-27}\cdot 1{,}38\cdot 10^{6}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 5} = 2{,}89\cdot 10^{-3}\ \text{m}c) Con la misma diferencia de potencial el electrón adquiere la misma energía cinética, pero mucho más velocidad:ve=2qVme=5,93⋅107 m/sv_e = \sqrt{\frac{2qV}{m_e}} = 5{,}93\cdot 10^{7}\ \text{m/s}re=meveqB=9,1⋅10−31⋅5,93⋅1071,6⋅10−19⋅5=6,75⋅10−5 mr_e = \frac{m_ev_e}{qB} = \frac{9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 5{,}93\cdot 10^{7}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 5} = 6{,}75\cdot 10^{-5}\ \text{m}Como r=2mV/q /Br = \sqrt{2mV/q}\,/B, el radio es proporcional a m\sqrt m: re=rpme/mpr_e = r_p\sqrt{m_e/m_p}. Además, por tener carga negativa, el electrón giraría en sentido antihorario.
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Consejo

Una carga positiva gira en sentido horario cuando B⃗\vec B apunta hacia ti; una negativa, al revés.
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