FísicaDifícilProblema · 3 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla-La Mancha · 2014 · Junio · Opción B

Enunciado

Una onda armónica transversal de periodo

T = 2\,\text{s}

se propaga con velocidad de

60\,\text{cm/s}

en sentido positivo a lo largo de una cuerda tensa orientada según el eje

X

.

Se sabe que el punto de la cuerda de abscisa

x = 30\,\text{cm}

oscila en la dirección del eje

Y

, de forma que cuando

t = 1\,\text{s}

la elongación es nula y su velocidad es positiva; y en el instante

t = 1{,}5\,\text{s}

su elongación es

5\,\text{cm}

y su velocidad es nula. Se pide:

a) La frecuencia y la longitud de onda.

b) La fase inicial, la amplitud de la onda armónica y su expresión matemática.

c) La diferencia de fase de oscilación de dos puntos separados por un cuarto de longitud de onda.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f = 0{,}5\ \text{Hz}\quad \lambda = 1{,}2\ \text{m}\quad \varphi_0 = -\frac{\pi}{2}\quad A = 5\ \text{cm}\quad y = 0{,}05\sin\left(\pi t - \frac{5\pi}{3}x - \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}\quad \Delta\varphi = \frac{\pi}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

f = 1/T

\lambda = vT

. Escribimos

y = A\sin(\omega t - kx + \varphi_0)

. En

t = 1{,}5\,\text{s}

el punto está en un extremo con

y > 0

, así que

A = 5\,\text{cm}

. La condición «

y = 0

y velocidad positiva» exige que la fase sea

0

(o múltiplo de

2\pi

), y de ahí sale

\varphi_0

Desarrollo

f = \frac{1}{T} = 0{,}5\ \text{Hz}\qquad \lambda = vT = 0{,}60\cdot 2 = 1{,}2\ \text{m}

\omega = 2\pi/T = \pi\ \text{rad/s}

k = 2\pi/\lambda = 5\pi/3\ \text{rad/m}

.

En

t = 1{,}5\,\text{s}

la velocidad es nula y la elongación

+5\,\text{cm}

: el punto está en su máxima elongación, luego

A = 0{,}05\,\text{m}

.

En

x = 0{,}3\,\text{m}

t = 1\,\text{s}

, la fase es

\varphi = \pi\cdot 1 - \frac{5\pi}{3}\cdot 0{,}3 + \varphi_0 = \frac{\pi}{2} + \varphi_0

Con

y = 0

v_y = A\omega\cos\varphi > 0

, ha de ser

\varphi = 0

\varphi_0 = -\frac{\pi}{2}\ \text{rad}

Comprobación en

t = 1{,}5\,\text{s}

\varphi = 1{,}5\pi - \tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{2}

, así que

y = A

v_y = 0

. ✓

y(x,t) = 0{,}05\sin\left(\pi t - \frac{5\pi}{3}x - \frac{\pi}{2}\right)\ \text{(SI)}

\Delta\varphi = k\,\frac{\lambda}{4} = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Elongación nula y velocidad positiva» fija la fase en $0$ ; «elongación máxima y velocidad nula», en $\pi/2$ . Con una basta para hallar $\varphi_0$ y la otra sirve de comprobación.