FísicaMedioProblema · 3 pts

Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Castilla-La Mancha · 2014 · Septiembre · Opción A
Enunciado
Un electrón confinado dentro de un campo magnético uniforme de 0,1705 T0{,}1705\,\text{T} describe una órbita circular de 0,2 mm0{,}2\,\text{mm} de radio. Esta órbita está contenida en un plano perpendicular a las líneas del campo.

a) Explicar si el sentido de giro del electrón en su órbita será horario o antihorario. Se valorará la inclusión de un diagrama adecuado para ilustrar la explicación.

b) Calcular la velocidad y la energía del electrón en julios y en electronvoltios.

c) ¿Cuál es la frecuencia del electrón en su órbita?

Datos del electrón: masa 9,1⋅10−31 kg9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}; carga 1,6⋅10−19 C1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}.
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Resultado
  antihorario visto con B⃗ hacia el observadorv=6,0⋅106 m/sEc=1,64⋅10−17 J=102 eVf=4,77⋅109 Hz  \boxed{\;\text{antihorario visto con } \vec B \text{ hacia el observador}\qquad v = 6{,}0\cdot 10^{6}\ \text{m/s}\qquad E_c = 1{,}64\cdot 10^{-17}\ \text{J} = 102\ \text{eV}\qquad f = 4{,}77\cdot 10^{9}\ \text{Hz}\;}
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Estrategia

(a) F⃗=q v⃗×B⃗\vec F = q\,\vec v\times\vec B con q<0q < 0; el sentido depende de hacia dónde apunte B⃗\vec B respecto al observador. (b) evB=mv2/r⇒v=eBr/mevB = mv^2/r \Rightarrow v = eBr/m. (c) f=v/(2πr)=eB/(2πm)f = v/(2\pi r) = eB/(2\pi m).
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Desarrollo

a) Tomemos el campo saliendo del papel, hacia el observador (+Z+Z), y el electrón moviéndose hacia +X+X:F⃗=(−e) vB (ı^×k^)=(−e) vB (−ȷ^)=evB ȷ^\vec F = (-e)\,vB\,(\hat\imath\times\hat k) = (-e)\,vB\,(-\hat\jmath) = evB\,\hat\jmathLa fuerza lo desvía hacia la izquierda de su avance: gira en sentido antihorario visto desde el lado hacia el que apunta B⃗\vec B. (Si se mira desde el otro lado, con B⃗\vec B alejándose, se ve horario.) Al revés que una carga positiva.

b)evB=mv2r⟹v=eBrm=1,6⋅10−19⋅0,1705⋅2⋅10−49,1⋅10−31=6,0⋅106 m/sevB = \frac{mv^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{eBr}{m} = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}1705\cdot 2\cdot 10^{-4}}{9{,}1\cdot 10^{-31}} = 6{,}0\cdot 10^{6}\ \text{m/s}Ec=12mv2=12⋅9,1⋅10−31⋅(6,0⋅106)2=1,64⋅10−17 J=1,64⋅10−171,6⋅10−19=102 eVE_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot(6{,}0\cdot 10^{6})^2 = 1{,}64\cdot 10^{-17}\ \text{J} = \frac{1{,}64\cdot 10^{-17}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} = 102\ \text{eV}c)f=v2πr=eB2πm=1,6⋅10−19⋅0,17052π⋅9,1⋅10−31=4,77⋅109 Hzf = \frac{v}{2\pi r} = \frac{eB}{2\pi m} = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}1705}{2\pi\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}} = 4{,}77\cdot 10^{9}\ \text{Hz}
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Consejo

La frecuencia de giro (eB/2πmeB/2\pi m, frecuencia ciclotrón) no depende de la velocidad ni del radio.
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