Un electrón que se mueve a través de un tubo de rayos catódicos a 107m/s penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de 10−3T que actúa sobre una región de 4cm×4cm (zona cuadrada en la figura), siguiendo la trayectoria que se indica. Se pide:El electrón entra horizontalmente por la esquina inferior izquierda de una región cuadrada de 4 cm de lado y sale por el lado derecho desviado hacia arriba una altura ha) La energía cinética del electrón en electronvoltios.
b) Explicar razonadamente si el campo magnético está dirigido hacia adentro o hacia afuera respecto al plano del papel y determinar el valor de la desviación h que sufre el electrón.
c) La diferencia de potencial que habrá que establecer entre dos placas conductoras, planas y paralelas, para que el efecto del campo electrostático contrarreste los efectos del campo magnético sobre el electrón y este atraviese la zona cuadrada sin desviarse. Indicar cómo deben situarse las placas y la polaridad (signo) de cada una.
Datos: carga y masa del electrón e=−1,6⋅10−19C, m=9,11⋅10−31kg; 1eV=1,6⋅10−19J.
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Resultado
Ec=285eVB hacia afuerah=1,64cmΔV=400V (placa inferior +, superior −)
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Estrategia
(b) F=qv×B con q<0 debe apuntar hacia arriba al entrar. Dentro describe un arco de radio r=mv/(∣e∣B); tras avanzar 4cm en horizontal, la altura ganada es h=r−r2−d2. (c) Selector de velocidades: E=vB y ΔV=Ed.
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Desarrollo
a)Ec=21mv2=21⋅9,11⋅10−31⋅(107)2=4,56⋅10−17J=1,6⋅10−194,56⋅10−17=285eVb) El electrón entra hacia la derecha (+X) y se desvía hacia arriba (+Y). Probando con B saliente (+Z):F=(−e)vB(^×k^)=(−e)vB(−^)=∣e∣vB^La fuerza va hacia arriba, como en la figura: el campo está dirigido hacia afuera del papel.
Radio del arco:r=∣e∣Bmv=1,6⋅10−19⋅10−39,11⋅10−31⋅107=5,69⋅10−2m=5,69cmEl centro de la circunferencia está r por encima del punto de entrada. Cuando el electrón ha avanzado d=4cm en horizontal, ha subidoh=r−r2−d2=5,69−5,692−42=5,69−4,05=1,64cmComo h<4cm, sale efectivamente por el lado derecho.
c) La fuerza eléctrica debe ser hacia abajo, igual a la magnética:∣e∣E=∣e∣vB⟹E=vB=107⋅10−3=104V/mSobre un electrón la fuerza es opuesta al campo: para que la fuerza vaya hacia abajo, E debe apuntar hacia arriba. Las placas se colocan horizontales, una encima y otra debajo de la región, separadas 4cm: la inferior positiva y la superior negativa (el campo va de + a −, y el electrón es atraído hacia la placa positiva, abajo).ΔV=Ed=104⋅0,04=400V
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Consejo
La desviación dentro de un campo magnético es un arco de circunferencia, no una parábola: usa geometría del círculo, no las ecuaciones del tiro.
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