FísicaMedioProblema · 3 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla-La Mancha · 2013 · Junio · Opción A
Enunciado
Una onda transversal se propaga por una cuerda tensa fija por sus extremos con una velocidad de 80 m/s80\,\text{m/s}, y al reflejarse se forma el cuarto armónico de una onda estacionaria cuya ecuación esy=0,12sin⁡kx⋅cos⁡ωty = 0{,}12\sin kx\cdot\cos\omega t(todas las magnitudes expresadas en el Sistema Internacional).

a) Si la longitud de la cuerda tensa es 4 m4\,\text{m}, calcular los valores de los parámetros kk (número de ondas), ω\omega (frecuencia angular) y expresar su frecuencia en hercios.

b) ¿Cuál es la máxima elongación de un punto de la cuerda situado a 0,5 m0{,}5\,\text{m} de un extremo? ¿Cuál es la máxima aceleración que experimenta ese punto de la cuerda?

c) ¿Qué frecuencia debería tener la onda transversal que se propaga por la cuerda a 80 m/s80\,\text{m/s} para que se formase el segundo armónico en lugar del cuarto? Explíquese brevemente.
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Resultado
  k=π rad/mω=80π rad/sf=40 HzA=0,12 mamax⁡=7,58⋅103 m/s2f2=20 Hz  \boxed{\;k = \pi\ \text{rad/m}\quad \omega = 80\pi\ \text{rad/s}\quad f = 40\ \text{Hz}\quad A = 0{,}12\ \text{m}\quad a_{\max} = 7{,}58\cdot 10^{3}\ \text{m/s}^2\quad f_2 = 20\ \text{Hz}\;}
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Estrategia

En una cuerda fija por los dos extremos, L=nλ/2L = n\lambda/2; con n=4n = 4 sale λ\lambda, y de ahí k=2π/λk = 2\pi/\lambda, f=v/λf = v/\lambda y ω=2πf\omega = 2\pi f. Cada punto oscila con amplitud 0,12sin⁡kx0{,}12\sin kx y su aceleración máxima es ω2\omega^2 por esa amplitud.
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Desarrollo

a)L=4⋅λ2⟹λ=L2=2 mk=2πλ=π rad/mL = 4\cdot\frac{\lambda}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{L}{2} = 2\ \text{m}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \pi\ \text{rad/m}f=vλ=802=40 Hzω=2πf=80π rad/sf = \frac{v}{\lambda} = \frac{80}{2} = 40\ \text{Hz}\qquad \omega = 2\pi f = 80\pi\ \text{rad/s}b) En x=0,5 mx = 0{,}5\,\text{m}:A(0,5)=0,12 ∣sin⁡(π⋅0,5)∣=0,12 mA(0{,}5) = 0{,}12\,|\sin(\pi\cdot 0{,}5)| = 0{,}12\ \text{m}Es un vientre (está a λ/4\lambda/4 del extremo). Su aceleración máxima:amax⁡=ω2A=(80π)2⋅0,12=7,58⋅103 m/s2a_{\max} = \omega^2A = (80\pi)^2\cdot 0{,}12 = 7{,}58\cdot 10^{3}\ \text{m/s}^2c) El segundo armónico tiene dos vientres: L=2⋅λ2/2=λ2=4 mL = 2\cdot\lambda_2/2 = \lambda_2 = 4\,\text{m}. Como la velocidad de las ondas depende solo de la cuerda (tensión y densidad), sigue siendo 80 m/s80\,\text{m/s}:f2=vλ2=804=20 Hzf_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{80}{4} = 20\ \text{Hz}La frecuencia debe ser la mitad: los armónicos son múltiplos de la fundamental, fn=n v/(2L)f_n = n\,v/(2L), con f1=10 Hzf_1 = 10\,\text{Hz}.
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Consejo

fn=n f1f_n = n\,f_1: con la frecuencia de un armónico cualquiera y su número sacas la fundamental, y de ahí todos los demás.
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