FísicaFácilProblema · 3 pts

Campo y potencial gravitatorio

Castilla-La Mancha · 2013 · Septiembre · Opción B
Enunciado
Un pequeño meteorito de masa 10 kg10\,\text{kg} es atraído por un planeta de masa 1024 kg10^{24}\,\text{kg} y radio 5000 km5000\,\text{km}. Considerando que cuando el meteorito se encontraba a gran distancia su velocidad inicial era despreciable, se pide:

a) La fuerza de atracción entre planeta y meteorito cuando la distancia al planeta es 106 km10^{6}\,\text{km}.

b) La velocidad del meteorito cuando se encuentra a 1000 km1000\,\text{km} por encima de la superficie.

c) La energía cinética del meteorito en el momento del impacto contra la superficie.

Constante de gravitación G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}.
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Resultado
  F=6,67⋅10−4 Nv=4,72 km/sEc=1,33⋅108 J  \boxed{\;F = 6{,}67\cdot 10^{-4}\ \text{N}\qquad v = 4{,}72\ \text{km/s}\qquad E_c = 1{,}33\cdot 10^{8}\ \text{J}\;}
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1

Estrategia

(a) Ley de gravitación. (b) y (c) Conservación de la energía mecánica desde el infinito (energía total nula): 12mv2=GMm/r\tfrac12 mv^2 = GMm/r.
2

Desarrollo

a) r=106 km=109 mr = 10^{6}\,\text{km} = 10^{9}\,\text{m} (el radio del planeta es despreciable frente a esta distancia):F=GMmr2=6,67⋅10−11⋅1024⋅10(109)2=6,67⋅10−4 NF = \frac{GMm}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 10^{24}\cdot 10}{(10^{9})^2} = 6{,}67\cdot 10^{-4}\ \text{N}b) Parte del reposo «a gran distancia» (energía mecánica nula). A r=5000+1000=6000 kmr = 5000 + 1000 = 6000\,\text{km}:12mv2−GMmr=0⟹v=2GMr=2⋅6,67⋅10136⋅106=4,72⋅103 m/s\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{13}}{6\cdot 10^{6}}} = 4{,}72\cdot 10^{3}\ \text{m/s}c) En la superficie (r=Rr = R):Ec=GMmR=6,67⋅10−11⋅1024⋅105⋅106=1,33⋅108 JE_c = \frac{GMm}{R} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 10^{24}\cdot 10}{5\cdot 10^{6}} = 1{,}33\cdot 10^{8}\ \text{J}
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Consejo

Un cuerpo que cae desde el infinito en reposo llega a cada punto con la velocidad de escape de ese punto.
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