Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Límites y continuidad

Comunidad de Madrid · 2026 · Reserva 1

Enunciado

Calcule los siguientes límites:

a) (1 punto)

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right)

.

b) (1 punto)

\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{\ln(1 + 2x)}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right) = \frac{3}{2}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{\ln(1 + 2x)} = \frac{3}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Antes de operar, siempre se sustituye para ver qué tipo de indeterminación hay, porque cada una tiene su herramienta.

En a) sale

\infty - \infty

con una raíz: el truco clásico es multiplicar y dividir por el conjugado, que convierte la resta en un cociente; luego se divide entre la mayor potencia de

x

.

En b) sale

\frac{0}{0}

con funciones derivables: se aplica la regla de L'Hôpital (derivar numerador y denominador por separado). Se puede contrastar con los infinitésimos equivalentes

e^u - 1 \sim u

\ln(1 + u) \sim u

Desarrollo

a) Al sustituir,

\sqrt{x^2 + 3x} \to +\infty

x \to +\infty

: indeterminación

\infty - \infty

. Multiplicamos y dividimos por el conjugado

\sqrt{x^2 + 3x} + x

\lim_{x \to +\infty} \frac{\left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right)\left(\sqrt{x^2 + 3x} + x\right)}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + 3x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x}

Ahora es

\frac{\infty}{\infty}

. Dividimos numerador y denominador entre

x

(con

x > 0

\frac{\sqrt{x^2 + 3x}}{x} = \sqrt{1 + \frac{3}{x}}

= \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} = \frac{3}{\sqrt{1} + 1} = \frac{3}{2}

Comprobación numérica. Con

x = 1000

\sqrt{1\,003\,000} - 1000 \approx 1001{,}4989 - 1000 = 1{,}4989

, muy cerca de

1{,}5

✓.

b) Al sustituir

x = 0

e^0 - 1 = 0

\ln 1 = 0

, indeterminación

\frac{0}{0}

. Numerador y denominador son derivables cerca de

0

(el denominador, para

x > -\frac{1}{2}

), así que aplicamos L'Hôpital:

\left(e^{3x} - 1\right)' = 3e^{3x}, \qquad \left(\ln(1 + 2x)\right)' = \frac{2}{1 + 2x}

\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{\ln(1 + 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3e^{3x}}{\dfrac{2}{1 + 2x}} = \lim_{x \to 0} \frac{3e^{3x}(1 + 2x)}{2} = \frac{3 \cdot 1 \cdot 1}{2} = \frac{3}{2}

Comprobación con infinitésimos equivalentes. Cuando

x \to 0

e^{3x} - 1 \sim 3x

\ln(1 + 2x) \sim 2x

, luego el cociente se comporta como

\frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) es tentador decir « $\infty - \infty = 0$ » o separar el límite en dos: las dos cosas son falsas. La corrección puntúa indicar la indeterminación y usar el conjugado.

En b) L'Hôpital deriva numerador y denominador por separado, no el cociente con la regla de la derivada de un cociente. Y no olvides la regla de la cadena: la derivada de $e^{3x}$ es $3e^{3x}$ y la de $\ln(1 + 2x)$ es $\frac{2}{1 + 2x}$ .