Límites y continuidad

a) Estudio cada tramo por separado y después los puntos conflictivos.

Tramo $x < 3$. $f(x) = x^2 + 2x + 1$ es un polinomio: continua en todo $(-\infty, 3)$.

Tramo $x > 3$. $f(x) = \dfrac{2x}{x - 4}$ es un cociente de polinomios, continuo salvo donde se anula el denominador: $x - 4 = 0 \iff x = 4$, que pertenece a este tramo. Así que es continua en $(3, 4) \cup (4, +\infty)$ y hay que estudiar $x = 4$.

Punto $x = 3$.$$f(3) = \frac{2\cdot 3}{3 - 4} = -6$$$$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x^2 + 2x + 1) = 9 + 6 + 1 = 16, \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{2x}{x - 4} = \frac{6}{-1} = -6$$Los límites laterales existen, son finitos y distintos ($16 \neq -6$): en $x = 3$ hay una discontinuidad de salto finito (de primera especie), con un salto de $16 - (-6) = 22$ unidades. La función es continua por la derecha en $x = 3$, porque $f(3) = -6$ coincide con el límite por la derecha.

Punto $x = 4$. $f(4)$ no existe (denominador nulo). Los límites laterales:$$\lim_{x \to 4^-} \frac{2x}{x - 4} = \frac{8}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 4^+} \frac{2x}{x - 4} = \frac{8}{0^+} = +\infty$$Los límites laterales son infinitos: en $x = 4$ hay una discontinuidad de salto infinito (inevitable, de segunda especie), y la recta $x = 4$ es una asíntota vertical.

Conclusión: $f$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{3, 4\}$; en $x = 3$ tiene una discontinuidad de salto finito y en $x = 4$ una de salto infinito (asíntota vertical).

b) Como $x = 2 < 3$, cerca de ese punto $f(x) = x^2 + 2x + 1$:$$f(2) = 4 + 4 + 1 = 9, \qquad f'(x) = 2x + 2 \;\Rightarrow\; f'(2) = 6$$La recta tangente es$$y - f(2) = f'(2)\,(x - 2) \;\Rightarrow\; y - 9 = 6(x - 2) \;\Rightarrow\; y = 6x - 3$$