Límites y continuidad

a) Trozo $x < -1$. $f(x) = \dfrac{x^2}{2 + x^2}$ es un cociente de polinomios cuyo denominador es siempre positivo: es continua en $(-\infty, -1)$.

Trozo $x > -1$. $f(x) = \dfrac{2x^2}{3 - 3x}$ es continua salvo donde $3 - 3x = 0$, es decir, en $x = 1$, que pertenece a este trozo. En $x = 1$ la función no está definida, y además$$\lim_{x \to 1^-}\frac{2x^2}{3 - 3x} = \frac{2}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 1^+}\frac{2x^2}{3 - 3x} = \frac{2}{0^-} = -\infty$$Es una discontinuidad inevitable de salto infinito (asíntota vertical $x = 1$).

Punto de unión $x = -1$.$$f(-1) = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}, \qquad \lim_{x \to -1^-}\frac{x^2}{2 + x^2} = \frac{1}{3}, \qquad \lim_{x \to -1^+}\frac{2x^2}{3 - 3x} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función: $f$ es continua en $x = -1$.

Conclusión: $f$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ (que es su dominio) y en $x = 1$ presenta una discontinuidad de salto infinito.

b) Para $x \to -\infty$ estamos en el primer trozo:$$\lim_{x \to -\infty}\frac{x^2}{2 + x^2} = 1, \qquad \lim_{x \to -\infty}(2x^2 - 1) = +\infty$$Es una indeterminación $1^{\infty}$. Usamos $\lim f^g = e^{L}$ con $L = \lim g\,(f - 1)$:$$f(x) - 1 = \frac{x^2 - (2 + x^2)}{2 + x^2} = \frac{-2}{2 + x^2}$$$$L = \lim_{x \to -\infty}(2x^2 - 1)\cdot\frac{-2}{2 + x^2} = \lim_{x \to -\infty}\frac{-4x^2 + 2}{x^2 + 2} = -4$$(cociente de polinomios del mismo grado: cociente de los coeficientes principales). Por tanto$$\lim_{x \to -\infty} f(x)^{2x^2 - 1} = e^{-4} = \frac{1}{e^4} \approx 0{,}0183$$c) En $(-1, 0]$, $f(x) = \dfrac{2x^2}{3 - 3x} = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{x^2}{1 - x}$. Que en $x = -1$ la función tome el valor del otro trozo no cambia la integral (un punto aislado no aporta área), y $f$ es continua en $[-1, 0]$ (la discontinuidad está en $x = 1$, fuera del intervalo).

Dividimos: $x^2 = (x - 1)(x + 1) + 1$, luego$$\frac{x^2}{1 - x} = -\frac{x^2}{x - 1} = -(x + 1) - \frac{1}{x - 1} = -x - 1 + \frac{1}{1 - x}$$Una primitiva es$$\int\left(-x - 1 + \frac{1}{1 - x}\right)dx = -\frac{x^2}{2} - x - \ln|1 - x| + C$$Por la regla de Barrow:$$\int_{-1}^{0}\frac{x^2}{1 - x}\,dx = \Bigl[-\frac{x^2}{2} - x - \ln|1 - x|\Bigr]_{-1}^{0} = (0 - 0 - \ln 1) - \left(-\frac{1}{2} + 1 - \ln 2\right) = \ln 2 - \frac{1}{2}$$y entonces$$\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = \frac{2}{3}\left(\ln 2 - \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{3} \approx 0{,}1288$$Comprobación. En $[-1, 0]$ el integrando $\frac{2x^2}{3 - 3x}$ es no negativo (numerador $\geq 0$, denominador $> 0$), así que la integral debe ser positiva ✓; y como el integrando vale como mucho $\frac{1}{3}$ en ese intervalo de longitud 1, la integral no puede pasar de $\frac{1}{3}$ ✓.