Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Comunidad de Madrid · 2023 · Julio

Enunciado

Un equipo de ingenieros realiza pruebas de consumo de un nuevo vehículo híbrido. El gasto en litros de combustible por cada 100 kilómetros en función de la velocidad, medida en decenas de kilómetros por hora, es

c(v) = \begin{cases} \dfrac{5v}{3} & \text{si } 0 \le v < 3 \\[2mm] 14 - 4v + \dfrac{v^2}{3} & \text{si } v \ge 3. \end{cases}

a) (1 punto) Si en una primera prueba el vehículo tiene que circular a más de

3

decenas de kilómetros por hora, ¿a qué velocidad debe ir el vehículo para obtener un consumo mínimo?

b) (1,5 puntos) Si en otra prueba el vehículo debe circular a una velocidad

v

tal que

1 \le v \le 8

, ¿cuáles serán el máximo y el mínimo consumo posibles del vehículo?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ v = 6 \text{ decenas de km/h (60 km/h)},\ c(6) = 2 \text{ L}/100\text{ km}}

\boxed{\text{b)}\ \text{máx.: } c(3) = 5 \text{ L}/100\text{ km};\ \text{mín.: } c(1) = \tfrac{5}{3} \approx 1{,}67 \text{ L}/100\text{ km}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función a trozos, así que antes de nada miramos qué pasa en el punto de unión

v = 3

: si es continua y si es derivable. Eso decide qué herramientas podemos usar.

En a) solo interesa el segundo trozo (

v > 3

), que es una parábola: buscamos dónde se anula la derivada y comprobamos que es un mínimo.

En b) el intervalo

[1, 8]

es cerrado y la función es continua en él, así que el teorema de Weierstrass garantiza que hay máximo y mínimo absolutos. Los candidatos son los de siempre: los extremos del intervalo, los puntos donde la derivada se anula y los puntos donde la función no es derivable (aquí,

v = 3

). Se evalúa

c

en todos y se comparan.

Desarrollo

Continuidad y derivabilidad en $v = 3$ . Los dos trozos son polinomios, así que solo hay que mirar la unión:

\lim_{v\to 3^-} c(v) = \frac{5\cdot 3}{3} = 5, \qquad c(3) = \lim_{v\to 3^+} c(v) = 14 - 12 + \frac{9}{3} = 5

Luego

c

es continua en

[0, +\infty)

. Las derivadas de cada trozo son

c'(v) = \begin{cases} \dfrac{5}{3} & \text{si } 0 < v < 3 \\[2mm] -4 + \dfrac{2v}{3} & \text{si } v > 3 \end{cases}

y las laterales en

3

valen

c'(3^-) = \frac{5}{3}

c'(3^+) = -4 + 2 = -2

. Como no coinciden, $c$ no es derivable en $v = 3$ (hay un pico).

a) Para

v > 3

c'(v) = -4 + \frac{2v}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; v = 6

En $(3, 6)$ : $c'(v) < 0$ (por ejemplo $c'(4) = -\frac{4}{3}$ ), $c$ decrece.
En $(6, +\infty)$ : $c'(v) > 0$ (por ejemplo $c'(9) = 2$ ), $c$ crece.

Así que en

v = 6

hay un mínimo, y es el mínimo absoluto en

v > 3

porque la función baja hasta él y luego solo sube (también

c''(v) = \frac{2}{3} > 0

). El consumo en ese punto es

c(6) = 14 - 24 + \frac{36}{3} = 2 \ \text{litros cada } 100 \text{ km}

El vehículo debe circular a

v = 6

decenas de km/h, es decir, a 60 km/h.

b) En

[1, 8]

la función es continua (intervalo cerrado y acotado), así que por Weierstrass alcanza un máximo y un mínimo absolutos. Los candidatos son:

los extremos del intervalo: $v = 1$ y $v = 8$ ;
el punto de no derivabilidad: $v = 3$ ;
los puntos con derivada nula dentro del intervalo: en $(1, 3)$ la derivada vale $\frac{5}{3} \neq 0$ ; en $(3, 8)$ solo $v = 6$ .

Evaluamos:

c(1) = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \qquad c(3) = 5 \qquad c(6) = 2 \qquad c(8) = 14 - 32 + \frac{64}{3} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33

Comparando:

Consumo máximo: 5 litros/100 km, a $v = 3$ (30 km/h).
Consumo mínimo: $\frac{5}{3} \approx 1{,}67$ litros/100 km, a $v = 1$ (10 km/h).

Cuadra con la forma de la gráfica: sube en línea recta de

v = 1

v = 3

, baja hasta

v = 6

y vuelve a subir hasta

v = 8

sin llegar a

5

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) el máximo está justo en el punto donde $c$ no es derivable, así que quien solo busca $c'(v) = 0$ no lo encuentra. Los candidatos a extremo absoluto son tres tipos de punto: derivada nula, puntos sin derivada y extremos del intervalo. La corrección puntúa cada uno.

Ojo con las unidades: la velocidad va en decenas de km/h; $v = 6$ son 60 km/h.