Límites y continuidad

a) Teorema de Bolzano. Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ tal que $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos ($f(a)\cdot f(b) < 0$). Entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

b) Comprobamos las hipótesis en $[0, 2]$:

• $f$ es un polinomio, así que es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[0, 2]$.
• Valores en los extremos:

$$f(0) = -10 < 0, \qquad f(2) = 8 + 24 + 6 - 10 = 28 > 0.$$Como $f(0)\cdot f(2) < 0$, por el teorema de Bolzano existe al menos un $c \in (0, 2)$ con $f(c) = 0$: $f$ tiene al menos una raíz en $[0, 2]$.

c) Derivamos:$$f'(x) = 3x^2 + 12x + 3 = 3\,(x^2 + 4x + 1).$$Sus ceros son $x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$, es decir, $x \approx -3{,}73$ y $x \approx -0{,}27$, los dos negativos. Fuera de ellos (en particular para todo $x \ge 0$) la parábola $f'$ es positiva; de hecho, para $x \in [0, 2]$ los tres sumandos de $3x^2 + 12x + 3$ son no negativos y el último vale $3$, así que$$f'(x) \ge 3 > 0 \quad \text{para todo } x \in [0, 2].$$Por tanto $f$ es estrictamente creciente en $[0, 2]$. Si tuviera dos raíces $x_1 < x_2$ en el intervalo, sería $f(x_1) = f(x_2) = 0$, lo que contradice que $f(x_1) < f(x_2)$. (Equivalentemente: por el teorema de Rolle, entre dos raíces habría un punto con $f' = 0$, y en $[0, 2]$ no lo hay.)

No: $f$ tiene exactamente una raíz en $[0, 2]$. De hecho se puede encontrar: $f(1) = 1 + 6 + 3 - 10 = 0$, y $f(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 5)$, cuyas otras raíces, $-2$ y $-5$, quedan fuera del intervalo.