Límites y continuidad

a) Continuidad.

• En $(-\infty, 0)$, $f(x) = \dfrac{2x+1}{x}$ es un cociente de polinomios cuyo denominador solo se anula en $x = 0$, que no está en ese intervalo: es continua.
• En $(0, +\infty)$, $f(x) = x^2 - 4x + 3$ es un polinomio: es continua.
• En $x = 0$: $f(0) = 0 - 0 + 3 = 3$ y

$$\lim_{x \to 0^-} \frac{2x+1}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 0^+} (x^2 - 4x + 3) = 3$$El límite por la izquierda es infinito, así que no existe $\lim_{x\to 0} f(x)$ y $f$ no es continua en $x = 0$: es una discontinuidad inevitable de salto infinito (asintótica por la izquierda). Por la derecha sí es continua, porque el límite lateral coincide con $f(0) = 3$.

Conclusión: $f$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

b) Derivabilidad en $x = 0$. Toda función derivable en un punto es continua en él. Como $f$ no es continua en $x = 0$, no es derivable en $x = 0$.

c) Asíntotas.

Horizontales. Hacia $-\infty$ manda el primer trozo:$$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x+1}{x} = \lim_{x \to -\infty}\left(2 + \frac{1}{x}\right) = 2$$luego $y = 2$ es asíntota horizontal cuando $x \to -\infty$. Hacia $+\infty$ manda el polinomio, $\lim_{x\to+\infty} (x^2 - 4x + 3) = +\infty$: no hay asíntota horizontal por la derecha.

Verticales. El polinomio no tiene ninguna, y el cociente solo puede tenerla donde se anula su denominador, $x = 0$. Como $\lim_{x\to 0^-} f(x) = -\infty$, la recta $x = 0$ es asíntota vertical (por la izquierda; por la derecha $f$ tiende a 3).

d) Tangente horizontal en $(0, \infty)$. Ahí $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y$$f'(x) = 2x - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2 \in (0, \infty), \qquad f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$$El punto es $(2, -1)$ y la tangente, con pendiente $0$, es$$y - (-1) = 0\cdot(x - 2) \;\Longrightarrow\; y = -1$$Extremo. $f'(x) = 2x - 4$ es negativa en $(0, 2)$ y positiva en $(2, +\infty)$: $f$ decrece y luego crece, así que en $(2, -1)$ hay un mínimo relativo. Lo confirma la segunda derivada: $f''(2) = 2 > 0$.