Límites y continuidad

a) El numerador $2e^{x^2-4} - 8x + 14$ y el denominador $x^2 - 2x$ son continuos en todo $\mathbb{R}$, así que $f$ es continua en todo punto donde el denominador no se anula:$$x^2 - 2x = x(x - 2) = 0 \iff x = 0 \ \text{ o } \ x = 2$$Por tanto, $f$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$, y en $x = 0$ y $x = 2$ no está definida, así que no es continua. Veamos qué tipo de discontinuidad tiene en cada uno.

En $x = 0$. El numerador vale $2e^{-4} + 14 \approx 14{,}04 \neq 0$ y el denominador se anula. Estudiamos el signo de $x(x - 2)$ cerca de 0:$$\lim_{x\to 0^-} f(x) = \frac{2e^{-4} + 14}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x\to 0^+} f(x) = \frac{2e^{-4} + 14}{0^-} = -\infty$$(a la izquierda de 0, $x < 0$ y $x - 2 < 0$, producto positivo; a la derecha, $x > 0$ y $x - 2 < 0$, producto negativo). Discontinuidad de salto infinito (asíntota vertical $x = 0$).

En $x = 2$. El numerador vale $2e^{0} - 16 + 14 = 0$ y el denominador también: indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital (numerador y denominador son derivables y se anulan en $x = 2$):$$\lim_{x\to 2} \frac{2e^{x^2-4} - 8x + 14}{x^2 - 2x} = \lim_{x\to 2} \frac{4x\,e^{x^2-4} - 8}{2x - 2} = \frac{4\cdot 2\cdot e^{0} - 8}{2\cdot 2 - 2} = \frac{0}{2} = 0$$El límite existe y es finito, pero $f(2)$ no existe: discontinuidad evitable en $x = 2$ (se evitaría definiendo $f(2) = 0$).

b) Llamamos $\Delta$ al determinante pedido y partimos de él.

1. A una fila se le puede sumar un múltiplo de otra sin que cambie el determinante. La segunda fila es $(a, b, c) - 2\cdot(1, 2, 3)$; sumándole el doble de la primera:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a - 2 & b - 4 & c - 6 \\ 2x & 2y & 2z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \\ 2x & 2y & 2z \end{vmatrix}$$

2. Si todos los elementos de una fila se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. Sacamos el 2 de la tercera fila:

$$\Delta = 2\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{vmatrix}$$

3. Al intercambiar dos filas, el determinante cambia de signo. Intercambiamos la primera y la tercera:

$$\Delta = 2\cdot(-1)\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = -2\cdot 2 = -4$$