Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

También trata: Integrales

Castilla-La Mancha · 2022 · Julio

Enunciado

a) (1,5 puntos) Encuentra razonadamente el valor de

a, b \in \mathbb{R}

para que la función

f(x) = \frac{ax + 1}{2x + b}

tenga una discontinuidad de salto infinito en

x = 1

y tienda a 2 cuando

x \longrightarrow +\infty

.

b) (1 punto) Resuelve la siguiente integral:

\int x \cdot \cos(2x)\, dx.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } a = 4,\quad b = -2}

\boxed{\text{b) } \int x\cos(2x)\,dx = \frac{x\operatorname{sen}(2x)}{2} + \frac{\cos(2x)}{4} + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) cada condición da una ecuación. Una función racional tiene un salto infinito (una asíntota vertical) donde se anula el denominador sin anularse el numerador: eso fija

b

y pone una condición sobre

a

. El límite en $+\infty$ de un cociente de polinomios del mismo grado es el cociente de los coeficientes principales: eso fija

a

. Al final hay que comprobar que el numerador no se anula en

x = 1

, porque entonces la discontinuidad podría ser evitable.

En b) tenemos el producto de un polinomio por un coseno: es el caso típico de integración por partes, derivando el polinomio (

u = x

) para que desaparezca.

Desarrollo

a) Límite en el infinito. Numerador y denominador son de grado 1:

\lim_{x\to+\infty} \frac{ax + 1}{2x + b} = \frac{a}{2}

Queremos que valga 2:

\frac{a}{2} = 2 \;\Longrightarrow\; a = 4

Salto infinito en $x = 1$ . Para que

\lim_{x\to 1} f(x)

sea infinito, el denominador tiene que anularse en

x = 1

2\cdot 1 + b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -2

y el numerador no debe anularse ahí. Con

a = 4

, el numerador en

x = 1

vale

4\cdot 1 + 1 = 5 \neq 0

. Entonces

f(x) = \frac{4x + 1}{2x - 2}, \qquad \lim_{x\to 1^-} f(x) = \frac{5}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x\to 1^+} f(x) = \frac{5}{0^+} = +\infty

Así que en

x = 1

hay una discontinuidad de salto infinito (asíntota vertical

x = 1

), y la recta

y = 2

es asíntota horizontal en

+\infty

, como se pedía.

b) Integramos por partes,

\int u\,dv = uv - \int v\,du

, con

u = x \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = \cos(2x)\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}

\int x\cos(2x)\,dx = \frac{x\operatorname{sen}(2x)}{2} - \int \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}\,dx = \frac{x\operatorname{sen}(2x)}{2} - \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{\cos(2x)}{2}\right) + C

\int x\cos(2x)\,dx = \frac{x\operatorname{sen}(2x)}{2} + \frac{\cos(2x)}{4} + C

Comprobación derivando:

\left(\frac{x\operatorname{sen}(2x)}{2} + \frac{\cos(2x)}{4}\right)' = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} + \frac{2x\cos(2x)}{2} - \frac{2\operatorname{sen}(2x)}{4} = x\cos(2x)

Consejo

En a) no te quedes en «el denominador se anula en $x = 1$ »: comprueba que el numerador no se anula también. Si fuera $0/0$ , la discontinuidad podría ser evitable y no de salto infinito.

En b) cuidado con el factor 2 del ángulo: una primitiva de $\cos(2x)$ es $\operatorname{sen}(2x)/2$ , no $\operatorname{sen}(2x)$ . Y no olvides la constante $C$ en una integral indefinida.