Límites y continuidad

a.1) En $x = 0$ el numerador vale $0$ y el denominador $0 - 0 - \operatorname{sen} 0 = 0$: indeterminación $\frac{0}{0}$. Escribo el numerador como $x^2 - 2x^3$ y aplico L'Hôpital (ambas funciones son derivables cerca de 0):$$\lim_{x\to 0} \frac{x^2 - 2x^3}{x - 2x^2 - \operatorname{sen} x} = \lim_{x\to 0} \frac{2x - 6x^2}{1 - 4x - \cos x}$$De nuevo $\frac{0}{0}$, porque $1 - 0 - \cos 0 = 0$. Segunda vez:$$= \lim_{x\to 0} \frac{2 - 12x}{-4 + \operatorname{sen} x} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$$a.2) Con $t = \frac{1}{x}$, cuando $x \to +\infty$ se tiene $t \to 0^+$, y $\frac{1}{x} = t$, $\frac{3}{x} = 3t$:$$\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x}\left(\frac{3}{x} - \frac{2}{\operatorname{sen}\frac{1}{x}}\right) = \lim_{t\to 0^+} t\left(3t - \frac{2}{\operatorname{sen} t}\right) = \lim_{t\to 0^+}\left(3t^2 - 2\,\frac{t}{\operatorname{sen} t}\right)$$El primer sumando tiende a 0. El segundo es $\frac{0}{0}$; por L'Hôpital,$$\lim_{t\to 0}\frac{t}{\operatorname{sen} t} = \lim_{t\to 0}\frac{1}{\cos t} = 1$$Por tanto$$\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x}\left(\frac{3}{x} - \frac{2}{\operatorname{sen}\frac{1}{x}}\right) = 0 - 2 \cdot 1 = -2$$(Se llega a lo mismo poniendo todo sobre $\operatorname{sen} t$, $\frac{3t^2\operatorname{sen} t - 2t}{\operatorname{sen} t}$, y aplicando L'Hôpital una vez: $\frac{6t\operatorname{sen} t + 3t^2\cos t - 2}{\cos t} \to \frac{-2}{1} = -2$.)

b.1) La derivada de $x^2 - 1$ es $2x$, así que ajusto el factor 2:$$\int \frac{x}{x^2-1}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2-1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left|x^2-1\right| + C$$Comprobación: $\left(\frac{1}{2}\ln|x^2-1|\right)' = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2-1} = \frac{x}{x^2-1}$ ✓.

b.2) Primero la primitiva, por partes con $u = x^2$, $dv = e^{-x}\,dx$, de modo que $du = 2x\,dx$, $v = -e^{-x}$:$$\int x^2 e^{-x}\,dx = -x^2 e^{-x} + 2\int x e^{-x}\,dx$$Otra vez por partes, con $u = x$, $dv = e^{-x}\,dx$, $du = dx$, $v = -e^{-x}$:$$\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x}$$Juntando:$$\int x^2 e^{-x}\,dx = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x} + C = -(x^2 + 2x + 2)\,e^{-x} + C$$Comprobación derivando: $\bigl(-(x^2+2x+2)e^{-x}\bigr)' = -(2x+2)e^{-x} + (x^2+2x+2)e^{-x} = x^2 e^{-x}$ ✓.

Regla de Barrow:$$\int_0^1 x^2 e^{-x}\,dx = \Bigl[-(x^2 + 2x + 2)\,e^{-x}\Bigr]_0^1 = -5e^{-1} - (-2) = 2 - \frac{5}{e} \approx 0{,}1606$$Tiene sentido: el integrando es positivo en $(0, 1)$ y menor que $x^2$, cuya integral en $[0,1]$ es $\frac{1}{3}$; el resultado está entre 0 y $\frac{1}{3}$.