Límites y continuidad

a) Límite. Sustituyendo, $\frac{e^{0} - 1}{4 - 4} = \frac{0}{0}$: indeterminación. Por L'Hôpital (derivo numerador y denominador por separado):$$\lim_{x \to 2} \frac{e^{x - 2} - 1}{2x - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{e^{x - 2}}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}.$$(También con el infinitésimo equivalente $e^u - 1 \sim u$ para $u = x - 2 \to 0$: $\frac{x - 2}{2(x - 2)} = \frac{1}{2}$.)

b) Dominio.

• $x^2 - 2$ está definida para todo $x < 1$.
• $\frac{2x - 1}{x - 2}$ no está definida donde $x - 2 = 0$, es decir, en $x = 2$, que pertenece a $[1, 3]$.
• $2e^x$ está definida para todo $x > 3$.

$$\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{2\}.$$Continuidad en cada trozo. En $(-\infty, 1)$, $f$ es un polinomio; en $(1, 2) \cup (2, 3)$, un cociente de polinomios con denominador no nulo; en $(3, +\infty)$, una exponencial. En todos esos intervalos es continua. Quedan por estudiar $x = 1$, $x = 2$ y $x = 3$.

En $x = 1$:$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^2 - 2\right) = -1, \qquad \lim_{x \to 1^+} \frac{2x - 1}{x - 2} = \frac{1}{-1} = -1, \qquad f(1) = \frac{2 - 1}{1 - 2} = -1.$$Los tres coinciden: $f$ es continua en $x = 1$.

En $x = 2$: $f(2)$ no existe. El numerador tiende a $2\cdot 2 - 1 = 3$ y el denominador a 0:$$\lim_{x \to 2^-} \frac{2x - 1}{x - 2} = \frac{3}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 1}{x - 2} = \frac{3}{0^+} = +\infty.$$Discontinuidad de salto infinito (esencial): la recta $x = 2$ es una asíntota vertical.

En $x = 3$:$$\lim_{x \to 3^-} \frac{2x - 1}{x - 2} = \frac{5}{1} = 5 = f(3), \qquad \lim_{x \to 3^+} 2e^x = 2e^3 \approx 40{,}17.$$Los límites laterales son finitos pero distintos, así que no existe $\lim_{x \to 3} f(x)$: discontinuidad de salto finito (inevitable), con salto $2e^3 - 5 \approx 35{,}17$. La función sí es continua por la izquierda en $x = 3$.

Conclusión. $f$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{2, 3\}$.