Límites y continuidad

a) Al sustituir: numerador $1 - 1 = 0$ y denominador $e^0 - 1 = 0$: indeterminación $\frac{0}{0}$. Por L'Hôpital,$$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{e^{x-1} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)'}{(e^{x-1} - 1)'} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{e^{x-1}} = \frac{1}{e^0} = 1$$(También se ve con el infinitésimo equivalente $e^t - 1 \sim t$ cuando $t = x - 1 \to 0$.)

b) Continuidad en $x = 0$. El valor de la función lo da el segundo trozo (que incluye el $0$):$$f(0) = \frac{1}{0 - 1} = -1$$Límites laterales:$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^x = e^0 = 1, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{-1} = -1$$Los dos laterales existen y son finitos, pero son distintos ($1 \neq -1$): no existe $\lim_{x \to 0} f(x)$. La función no es continua en $x = 0$: tiene una discontinuidad de salto finito, de salto $|{-1} - 1| = 2$ (es continua por la derecha, porque $f(0)$ coincide con el límite por la derecha).

Continuidad en $x = 2$. De nuevo manda el segundo trozo:$$f(2) = \frac{1}{2 - 1} = 1$$$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x - 1} = 1, \qquad \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} x = 2$$Otra vez los laterales son finitos y distintos ($1 \neq 2$): no es continua en $x = 2$, discontinuidad de salto finito de salto $2 - 1 = 1$ (continua por la izquierda).

Observación: aunque no se pregunta, el trozo $\frac{1}{x - 1}$ no está definido en $x = 1$, que está dentro de $[0, 2]$: ahí la función tiene una asíntota vertical (discontinuidad de salto infinito).