Límites y continuidad

Simplificación. Para $x < 1$, $x \neq -1$:$$f(x) = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$$(se puede simplificar porque $x - 1 \neq 0$ en ese trozo). Para $x \ge 1$ conviene escribir $f(x) = \dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{4x}$.

a) Como $0 < 1$, usamos el primer trozo:$$f(0) = \frac{0 - 1}{0 - 1} = 1$$Entonces $(f\circ f)(0) = f\bigl(f(0)\bigr) = f(1)$, y como $1 \ge 1$ usamos el segundo trozo:$$(f \circ f)(0) = f(1) = \frac{1 + 1}{4} = \frac{1}{2}$$b) Continuidad en $x = 1$.$$\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-} \frac{x-1}{x^2-1} \;\left[\tfrac{0}{0}\right] = \lim_{x\to 1^-} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2}$$$$\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} \frac{x^2+1}{4x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = f(1)$$Los dos límites laterales coinciden con $f(1) = \frac{1}{2}$: $f$ es continua en $x = 1$.

Derivabilidad en $x = 1$. Fuera de $x = 1$ cada trozo es derivable en su intervalo:$$x < 1,\ x\neq -1:\quad f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} \qquad\qquad x > 1:\quad f'(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4x^2} = \frac{x^2 - 1}{4x^2}$$Como $f$ es continua en $1$, las derivadas laterales son los límites de estas expresiones:$$f'(1^-) = -\frac{1}{(1+1)^2} = -\frac{1}{4}, \qquad f'(1^+) = \frac{1 - 1}{4} = 0$$Son distintas, así que $f$ no es derivable en $x = 1$ (la gráfica tiene un punto anguloso).

Extremo relativo en $x = 1$. Aunque no exista $f'(1)$, puede haber extremo. Miramos el signo de la derivada cerca de $1$:

• Para $-1 < x < 1$: $f'(x) = -\dfrac{1}{(x+1)^2} < 0$, luego $f$ decrece a la izquierda de $1$.
• Para $x > 1$: $f'(x) = \dfrac{x^2-1}{4x^2} > 0$, luego $f$ crece a la derecha de $1$.

Como además $f$ es continua en $1$, en un entorno de $1$ se cumple $f(x) > f(1)$ para $x \neq 1$: en $x = 1$ hay un mínimo relativo, de valor $f(1) = \frac{1}{2}$.

c) Asíntotas.

Verticales. En el primer trozo el denominador $x + 1$ se anula en $x = -1$ (que es menor que 1):$$\lim_{x\to -1^-} \frac{1}{x+1} = -\infty, \qquad \lim_{x\to -1^+} \frac{1}{x+1} = +\infty$$luego $x = -1$ es asíntota vertical. En $x = 1$ no hay (la función es continua) y en el segundo trozo el denominador $4x$ solo se anula en $x = 0$, que no pertenece a $[1, +\infty)$.

Cuando $x \to -\infty$ (primer trozo):$$\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x+1} = 0$$luego $y = 0$ es asíntota horizontal por la izquierda.

Cuando $x \to +\infty$ (segundo trozo): $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{x^2+1}{4x} = +\infty$, no hay horizontal. Buscamos oblicua $y = mx + n$:$$m = \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2+1}{4x^2} = \frac{1}{4}$$$$n = \lim_{x\to+\infty} \left(\frac{x^2+1}{4x} - \frac{x}{4}\right) = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{4x} = 0$$luego $y = \dfrac{x}{4}$ es asíntota oblicua por la derecha. (Como $f(x) - \frac{x}{4} = \frac{1}{4x} > 0$, la gráfica queda por encima.)