Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Castilla-La Mancha · 2020 · Julio

Enunciado

Dada la función

f(x) = \left\{\begin{array}{lll} \dfrac{3}{x-2} & \text{si} & x < 2 \\[2ex] \cos(\pi x) & \text{si} & 2 \le x \le 3 \\[2ex] \dfrac{\ln(x-2)}{3-x} & \text{si} & x > 3 \end{array}\right.

a) (1,5 puntos) Determina razonadamente los puntos en los que la función es continua, calcula los puntos en los que es discontinua y clasifica el tipo de discontinuidad, si los hubiera.

b) (1 punto) Calcula razonadamente el siguiente límite:

\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x e^{-x}}{1 + 2x - \cos(x^2)}

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ f \text{ continua en } \mathbb{R}\setminus\{2\};\ \text{en } x = 2 \text{ discontinuidad inevitable de salto infinito}}

\boxed{\text{b)}\ \lim_{x \to 0} \frac{x e^{-x}}{1 + 2x - \cos(x^2)} = \frac{1}{2}}

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Estrategia

En a) se estudia primero cada trozo en su intervalo abierto (allí cada expresión es una función elemental: solo hay que vigilar denominadores que se anulen y logaritmos de números no positivos) y después los dos puntos de cambio,

x = 2

x = 3

, con los límites laterales y el valor de la función.

En

x = 3

el límite por la derecha es una indeterminación

\frac{0}{0}

, que se resuelve con L'Hôpital. En

x = 2

el trozo de la izquierda «explota»: la discontinuidad será de salto infinito.

En b) sustituimos

x = 0

, sale

\frac{0}{0}

y aplicamos L'Hôpital una vez.

Desarrollo

a) Continuidad en cada trozo.

Si $x < 2$ : $f(x) = \dfrac{3}{x-2}$ es un cociente de polinomios cuyo denominador solo se anula en $x = 2$ , que no pertenece a este trozo. Es continua en $(-\infty, 2)$ .
Si $2 < x < 3$ : $f(x) = \cos(\pi x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ .
Si $x > 3$ : $x - 2 > 1 > 0$ , así que $\ln(x-2)$ está definido y es continuo, y el denominador $3 - x$ no se anula. Es continua en $(3, +\infty)$ .

En $x = 2$ .

f(2) = \cos(2\pi) = 1

\lim_{x \to 2^-} \frac{3}{x-2} = \frac{3}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 2^+} \cos(\pi x) = \cos(2\pi) = 1

El límite por la izquierda es infinito, así que no existe el límite en

x = 2

f

es discontinua en $x = 2$ , con una discontinuidad inevitable de salto infinito (la recta

x = 2

es asíntota vertical por la izquierda). Por la derecha sí es continua:

\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1 = f(2)

.

En $x = 3$ .

f(3) = \cos(3\pi) = -1

\lim_{x \to 3^-} \cos(\pi x) = \cos(3\pi) = -1

\lim_{x \to 3^+} \frac{\ln(x-2)}{3-x} = \left[\frac{\ln 1}{0} = \frac{0}{0}\right] \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x \to 3^+} \frac{\dfrac{1}{x-2}}{-1} = \frac{1}{-1} = -1

(L'Hôpital se puede aplicar: numerador y denominador son derivables cerca de

3

y ambos tienden a

0

.)

Los dos límites laterales valen

-1 = f(3)

f

es continua en $x = 3$ .

Conclusión:

f

es continua en

\mathbb{R} \setminus \{2\}

y en

x = 2

tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito.

b) Al sustituir

x = 0

: numerador

0\cdot e^0 = 0

y denominador

1 + 0 - \cos 0 = 0

. Es una indeterminación

\frac{0}{0}

; numerador y denominador son derivables, así que aplicamos L'Hôpital:

\left(x e^{-x}\right)' = e^{-x} - x e^{-x}, \qquad \bigl(1 + 2x - \cos(x^2)\bigr)' = 2 + 2x\operatorname{sen}(x^2)

\lim_{x \to 0} \frac{x e^{-x}}{1 + 2x - \cos(x^2)} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^{-x} - x e^{-x}}{2 + 2x\operatorname{sen}(x^2)} = \frac{1 - 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}

Consejo

En una función a trozos hay que justificar también la continuidad dentro de cada trozo (denominadores, logaritmos), no solo en los puntos de cambio. Y en cada punto de cambio escribe los tres datos: límite por la izquierda, por la derecha y valor de la función.

Al derivar $\cos(x^2)$ no olvides la regla de la cadena: $-\operatorname{sen}(x^2)\cdot 2x$ . Antes de usar L'Hôpital, escribe que el límite es del tipo $\frac{0}{0}$ .