Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Castilla-La Mancha · 2020 · Septiembre

Enunciado

a) [1 punto] Calcula razonadamente el siguiente límite:

\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\operatorname{sen}(2x)} \right)

.

b) [1,5 puntos] Dada la función

f(x) = \left\{\begin{array}{lll} 2^{(x-1)} & \text{si} & x \leq 1 \\ x - 2 & \text{si} & 1 < x < 2 \\ \ln(x - 1) & \text{si} & x \geq 2 \end{array}\right.,

donde

\ln

es el logaritmo neperiano, estudia la continuidad de la función

f(x)

x = 1

y en

x = 2

, y clasifica el tipo de discontinuidad si las hubiera.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\operatorname{sen}(2x)} \right) = +\infty\;}

\boxed{\;\text{b)}\ x = 1:\ \text{salto finito (laterales } 1 \text{ y } -1\text{)}; \quad x = 2:\ \text{continua}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), al sustituir

x = 0

los dos sumandos se van a infinito: es una indeterminación

\infty - \infty

. El truco habitual es restar las fracciones con denominador común; queda un cociente del tipo

\frac{0}{0}

, que se ataca con la regla de L'Hôpital. Como el límite es solo por la derecha, al final hay que fijarse en el signo del denominador.

En b) la función está definida a trozos y en cada trozo es continua (exponencial, polinomio, logaritmo con argumento positivo). Lo único que puede fallar son los puntos donde cambia la fórmula,

x = 1

x = 2

. En cada uno comparamos el valor de la función con los dos límites laterales: si coinciden los tres, es continua; si los laterales son finitos pero distintos, es una discontinuidad de salto.

Desarrollo

a) Cuando

x \to 0^+

\frac{1}{x} \to +\infty

\frac{1}{\operatorname{sen}(2x)} \to +\infty

: indeterminación

\infty - \infty

. Operamos:

\frac{1}{x} - \frac{1}{\operatorname{sen}(2x)} = \frac{\operatorname{sen}(2x) - x}{x\,\operatorname{sen}(2x)}

Numerador y denominador tienden a

0

: indeterminación

\frac{0}{0}

. Aplicamos L'Hôpital (ambas funciones son derivables cerca de

0

\lim_{x \to 0^+} \frac{\operatorname{sen}(2x) - x}{x\,\operatorname{sen}(2x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2\cos(2x) - 1}{\operatorname{sen}(2x) + 2x\cos(2x)}

Ahora el numerador tiende a

2\cdot 1 - 1 = 1

y el denominador a

0 + 0 = 0

. Ya no hay indeterminación: es

\frac{1}{0}

y el límite es infinito. Para el signo: si

x \to 0^+

(con

x

pequeño y positivo),

\operatorname{sen}(2x) > 0

2x\cos(2x) > 0

, así que el denominador tiende a

0^+

. Por tanto

\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\operatorname{sen}(2x)} \right) = \frac{1}{0^+} = +\infty

Otra forma de verlo: cerca de

0

\operatorname{sen}(2x) \approx 2x

, así que la expresión se parece a

\frac{1}{x} - \frac{1}{2x} = \frac{1}{2x}

, que tiende a

+\infty

por la derecha. (Por ejemplo, con

x = 0{,}001

la expresión vale unos

500

.)

b) En cada tramo

f

es continua:

2^{(x-1)}

es exponencial (continua en todo

\mathbb{R}

x - 2

es un polinomio y

\ln(x - 1)

es continua donde

x - 1 > 0

, lo que se cumple para

x \geq 2

. Solo hay que estudiar los puntos de unión.

En $x = 1$ :

Valor: $f(1) = 2^{(1-1)} = 2^0 = 1$ .
Límite por la izquierda: $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} 2^{(x-1)} = 2^0 = 1$ .
Límite por la derecha: $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} (x - 2) = 1 - 2 = -1$ .

Los límites laterales existen y son finitos pero distintos (

1 \neq -1

), así que no existe

\lim_{x \to 1} f(x)

f

no es continua en $x = 1$ : tiene una discontinuidad de salto finito (inevitable), con un salto de

|-1 - 1| = 2

unidades. (Es continua por la izquierda, porque

f(1)

coincide con el límite por la izquierda.)

En $x = 2$ :

Valor: $f(2) = \ln(2 - 1) = \ln 1 = 0$ .
Límite por la izquierda: $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} (x - 2) = 0$ .
Límite por la derecha: $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} \ln(x - 1) = \ln 1 = 0$ .

Los tres valores coinciden, luego

f

es continua en $x = 2$ .

Consejo

Ante $\infty - \infty$ con fracciones, lo primero es restar con denominador común; aplicar L'Hôpital a cada sumando por separado no tiene sentido. Y si tras L'Hôpital queda $\frac{1}{0}$ , el límite es infinito: estudia el signo del denominador para decir si es $+\infty$ o $-\infty$ .

En la continuidad de una función a trozos se exigen tres cosas: que exista $f(a)$ , que existan los dos laterales y que todo coincida. Para clasificar, di qué tipo de discontinuidad es (de salto finito) y por qué (laterales finitos y distintos).