Límites y continuidad

a) Sea $h(x) = \operatorname{sen} x - 2x + 1$.

• Hipótesis: $h$ es suma de la función seno y de un polinomio, ambas continuas en $\mathbb{R}$, así que $h$ es continua en $[0, \pi]$.
• Signos en los extremos:

$$h(0) = \operatorname{sen} 0 - 0 + 1 = 1 > 0, \qquad h(\pi) = \operatorname{sen}\pi - 2\pi + 1 = 1 - 2\pi \approx -5{,}28 < 0$$Por el teorema de Bolzano, existe al menos un $c \in (0, \pi)$ con $h(c) = 0$, es decir, $\operatorname{sen} c - 2c + 1 = 0$. La ecuación tiene al menos una solución real en $[0, \pi]$.

(Numéricamente, la solución es $c \approx 0{,}888$.)

b) Derivamos:$$h'(x) = \cos x - 2$$Como $\cos x \leq 1$ para todo $x$, resulta $h'(x) \leq 1 - 2 = -1 < 0$ en todo $\mathbb{R}$. Por tanto $h$ es estrictamente decreciente en $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[-200, 200]$.

Una función estrictamente decreciente no puede tomar dos veces el mismo valor, así que se anula como mucho una vez. Por el apartado a), se anula en un $c \in (0, \pi) \subset [-200, 200]$. Por tanto, la ecuación tiene exactamente una solución en $[-200, 200]$.

(Se ve también en los extremos: $h(-200) = \operatorname{sen}(-200) + 401 > 0$ y $h(200) = \operatorname{sen} 200 - 399 < 0$, porque el seno está entre $-1$ y $1$: la función baja de positiva a negativa una sola vez.)

También se puede razonar por reducción al absurdo con el teorema de Rolle: si hubiera dos soluciones $c_1 < c_2$, como $h$ es continua y derivable con $h(c_1) = h(c_2) = 0$, existiría un punto entre ellas con $h'(x) = 0$, lo que es imposible porque $\cos x - 2 \neq 0$ siempre.