Límites y continuidad

a) $f$ es un cociente de polinomios, así que es continua en todo punto donde el denominador no se anule:$$x^2 - 1 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 1 \ \text{ o } \ x = -1$$Luego $f$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ y en esos dos puntos no está definida. Factorizamos:$$2x^3 - x^2 - x = x\,(2x^2 - x - 1) = x\,(x - 1)(2x + 1), \qquad x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$de modo que, para $x \neq 1$,$$f(x) = \frac{x\,(x - 1)(2x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x\,(2x + 1)}{x + 1}$$En $x = 1$: al sustituir sale $\frac{0}{0}$; con la expresión simplificada$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x\,(2x + 1)}{x + 1} = \frac{1 \cdot 3}{2} = \frac{3}{2}$$El límite existe y es finito, pero $f(1)$ no existe: discontinuidad evitable en $x = 1$ (se evitaría definiendo $f(1) = \frac{3}{2}$).

En $x = -1$: el numerador vale $2(-1)^3 - (-1)^2 - (-1) = -2 \neq 0$ y el denominador se anula, así que el límite es infinito. Con la expresión simplificada, el numerador $x(2x + 1)$ tiende a $(-1)(-1) = 1 > 0$:$$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \frac{1}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x \to -1^+} f(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty$$Los límites laterales son infinitos: discontinuidad de salto infinito (no evitable) en $x = -1$, donde $f$ tiene la asíntota vertical $x = -1$.

b) $g(x) = x\,e^{-x}$ está definida y es derivable en todo $\mathbb{R}$. Por la regla del producto:$$g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot \left(-e^{-x}\right) = (1 - x)\,e^{-x}$$Como $e^{-x} > 0$ siempre, $g'(x) = 0 \Longleftrightarrow 1 - x = 0 \Longleftrightarrow x = 1$, y el signo de $g'$ es el de $1 - x$:$g$ pasa de crecer a decrecer en $x = 1$, así que hay un máximo relativo, y es el único extremo relativo. Su ordenada es$$g(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368$$