Límites y continuidad

Lectura de la gráfica. En $[-2, -1]$ la gráfica es el segmento de $(-2, 0)$ a $(-1, 1)$, de pendiente $\frac{1 - 0}{-1 - (-2)} = 1$; en $[-1, 0]$, el segmento de $(-1, 1)$ a $(0, 0)$, de pendiente $\frac{0 - 1}{0 - (-1)} = -1$. Para $x > 0$ la curva baja desde (casi) $(0, 1)$, toca el eje en $x = 1$ y vuelve a subir. (La figura es compatible con $f(x) = x + 2$ si $x \leq -1$, $f(x) = -x$ si $-1 < x \leq 0$ y $f(x) = (x-1)^2$ si $x > 0$, aunque no hace falta conocer la fórmula.)

a) En $x = -1$ la gráfica está a altura 1, en el vértice del pico:$$f(-1) = 1$$En $x = 1$ la curva tiene un mínimo en el que toca el eje $X$ suavemente: la recta tangente es horizontal, así que su pendiente es cero:$$f'(1) = 0$$b) En $x = -1$:$$\lim_{x\to -1^-} f(x) = 1, \qquad \lim_{x\to -1^+} f(x) = 1, \qquad f(-1) = 1$$Los dos segmentos llegan al mismo punto $(-1, 1)$, así que los límites laterales coinciden con el valor de la función: $f$ es continua en $x = -1$.

En $x = 0$:$$\lim_{x\to 0^-} f(x) = 0, \qquad \lim_{x\to 0^+} f(x) = 1, \qquad f(0) = 0$$Por la izquierda el segmento llega al punto relleno $(0, 0)$; por la derecha la curva se acerca al círculo hueco de altura 1. Los límites laterales son distintos, luego no existe $\lim_{x\to 0} f(x)$ y $f$ no es continua en $x = 0$ (tiene una discontinuidad de salto finito; es continua solo por la izquierda).

c) En $x = -1$: $f$ es continua, pero las derivadas laterales son las pendientes de los dos segmentos que llegan al pico:$$f'(-1^-) = 1 \neq -1 = f'(-1^+)$$Hay un punto anguloso, así que $f$ no es derivable en $x = -1$.

En $x = 0$: toda función derivable en un punto es continua en él. Como $f$ no es continua en $x = 0$ (apartado b), tampoco es derivable en $x = 0$.

d) En $[-2, 0]$ la función es no negativa ($f(x) \geq 0$), así que la integral coincide con el área entre la gráfica y el eje $X$. Esa región es el triángulo de vértices $(-2, 0)$, $(-1, 1)$ y $(0, 0)$: base 2 (de $-2$ a $0$) y altura 1:$$\int_{-2}^{0} f(x)\,dx = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1$$Comprobación con las expresiones de los segmentos:$$\int_{-2}^{-1} (x + 2)\,dx + \int_{-1}^{0} (-x)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-2}^{-1} + \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} = \left(-\frac{3}{2} + 2\right) + \frac{1}{2} = 1$$