Límites y continuidad

a) Valor de la función: $f(2) = 8e^{2\cdot 2 - 4} = 8e^0 = 8$.

Límite por la izquierda (trozo exponencial, continuo):$$\lim_{x\to 2^-} 8e^{2x-4} = 8e^0 = 8$$Límite por la derecha: al sustituir sale $\frac{8 - 8}{0} = \frac{0}{0}$. Factorizamos el numerador:$$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$$$$\lim_{x\to 2^+} \frac{x(x-2)(x+2)}{x - 2} = \lim_{x\to 2^+} x(x + 2) = 2 \cdot 4 = 8$$Los dos límites laterales coinciden con $f(2)$:$$\lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^+} f(x) = f(2) = 8,$$luego $f$ es continua en $x = 2$.

b) Asíntotas horizontales. Estudiamos los dos extremos por separado.

En $-\infty$ manda el primer trozo:$$\lim_{x\to -\infty} 8e^{2x-4} = 8 \cdot 0 = 0,$$porque el exponente $2x - 4 \to -\infty$. Hay asíntota horizontal $y = 0$ cuando $x \to -\infty$.

En $+\infty$ manda el segundo trozo. Para $x > 2$ podemos simplificar:$$\lim_{x\to +\infty} \frac{x^3 - 4x}{x - 2} = \lim_{x\to +\infty} x(x + 2) = +\infty,$$así que no hay asíntota horizontal por la derecha (el grado del numerador supera al del denominador; tampoco es oblicua, porque lo supera en 2).

Asíntotas verticales. El trozo $8e^{2x-4}$ es continuo en todo $\mathbb{R}$ y nunca tiende a infinito en un punto. El trozo racional solo podría tener asíntota donde se anula el denominador, $x = 2$, pero ese punto no pertenece a su dominio de definición ($x > 2$) y, además, en a) vimos que $\lim_{x\to 2^+} f(x) = 8$, un número finito. Como $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$, no tiene asíntotas verticales.

c) En $[0, 2]$ se cumple $x \leq 2$, así que $f(x) = 8e^{2x-4}$ en todo el intervalo. Una primitiva es$$\int 8e^{2x-4}\,dx = 8 \cdot \frac{e^{2x-4}}{2} = 4e^{2x-4},$$(se comprueba derivando: $(4e^{2x-4})' = 4 \cdot 2 e^{2x-4} = 8e^{2x-4}$ ✓). Por la regla de Barrow:$$\int_0^2 8e^{2x-4}\,dx = \Big[4e^{2x-4}\Big]_0^2 = 4e^0 - 4e^{-4} = 4 - \frac{4}{e^4} \approx 3{,}927$$Tiene sentido: la función es positiva y crece de $8e^{-4} \approx 0{,}15$ a $8$ en un intervalo de longitud 2, así que el área tiene que estar entre $0{,}3$ y $16$.