Límites y continuidad

a) Teorema de Bolzano. Si $f$ es una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y toma valores de signo distinto en sus extremos ($f(a)\cdot f(b) < 0$), entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Aplicación a $f(x) = x^{15} + x + 1$ en $[-1, 1]$:

• Continuidad. $f$ es un polinomio, así que es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[-1, 1]$.
• Signos en los extremos.

$$f(-1) = (-1)^{15} + (-1) + 1 = -1 - 1 + 1 = -1 < 0$$$$f(1) = 1^{15} + 1 + 1 = 3 > 0$$Se cumplen las dos hipótesis, luego existe al menos un $c \in (-1, 1)$ con $f(c) = 0$: la gráfica corta al eje $OX$ al menos una vez en ese intervalo.

(Podemos afinar: como $f(0) = 1 > 0$ y $f(-1) < 0$, la raíz está en $(-1, 0)$; numéricamente, $c \approx -0{,}872$.)

b) Número exacto de cortes. Derivamos:$$f'(x) = 15x^{14} + 1$$Como $14$ es par, $x^{14} \geq 0$ para todo $x$, y por tanto$$f'(x) = 15x^{14} + 1 \geq 1 > 0 \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R}$$Así que $f$ es estrictamente creciente en toda la recta real. Una función estrictamente creciente es inyectiva: no puede tomar el valor $0$ en dos puntos distintos (si $x_1 < x_2$, entonces $f(x_1) < f(x_2)$). Luego hay como mucho un corte con el eje $OX$.

Por el apartado a) hay al menos uno. Juntando las dos cosas:$$\text{la gráfica de } f \text{ corta al eje } OX \text{ en exactamente un punto.}$$(Otra forma de verlo: si hubiera dos raíces $x_1 < x_2$, por el teorema de Rolle existiría $d \in (x_1, x_2)$ con $f'(d) = 0$, imposible porque $f' \geq 1$.)