Límites y continuidad

a) Continuidad en $x = 0$.$$f(0) = \frac{\ln 1}{1} = 0$$$$\lim_{x\to 0^-} x\,e^{2x} = 0\cdot 1 = 0, \qquad \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(x+1)}{x+1} = \frac{\ln 1}{1} = 0$$Los dos límites laterales coinciden con $f(0)$, luego $f$ es continua en $x = 0$.

Derivabilidad en $x = 0$. Con la definición, usando $f(0) = 0$:$$f'(0^-) = \lim_{h\to 0^-} \frac{h\,e^{2h} - 0}{h} = \lim_{h\to 0^-} e^{2h} = 1$$$$f'(0^+) = \lim_{h\to 0^+} \frac{\dfrac{\ln(1+h)}{1+h} - 0}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{\ln(1+h)}{h}\cdot\frac{1}{1+h} = 1\cdot 1 = 1$$(el límite $\ln(1+h)/h \to 1$ es un infinitésimo equivalente; también sale por L'Hôpital: $\frac{1/(1+h)}{1} \to 1$).

Las derivadas laterales existen y son iguales, así que $f$ es derivable en $x = 0$ y $f'(0) = 1$.

Se llega a lo mismo derivando cada trozo, ya que $f$ es continua en $0$:$$x<0:\; f'(x) = e^{2x}(1+2x) \xrightarrow[x\to 0^-]{} 1, \qquad x>0:\; f'(x) = \frac{1 - \ln(x+1)}{(x+1)^2} \xrightarrow[x\to 0^+]{} 1$$b) Hacia $-\infty$ se usa el primer trozo. Es una indeterminación $(-\infty)\cdot 0$; se escribe como cociente y se aplica L'Hôpital:$$\lim_{x\to-\infty} x\,e^{2x} = \lim_{x\to-\infty} \frac{x}{e^{-2x}} \;\left[\frac{-\infty}{+\infty}\right] = \lim_{x\to-\infty} \frac{1}{-2\,e^{-2x}} = 0$$Hacia $+\infty$ se usa el segundo trozo, indeterminación $\infty/\infty$:$$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x+1)}{x+1} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = 0$$Los dos límites valen $0$: la recta $y = 0$ es asíntota horizontal por los dos lados.

c) En $[-1, 0)$ la función es $x\,e^{2x}$, y el valor en el punto aislado $x = 0$ no cambia la integral:$$\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} x\,e^{2x}\,dx$$Primitiva por partes, con $u = x$, $dv = e^{2x}\,dx$, de modo que $du = dx$ y $v = \tfrac{1}{2}e^{2x}$:$$\int x\,e^{2x}\,dx = \frac{x\,e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}\,dx = \frac{x\,e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C = \frac{(2x-1)\,e^{2x}}{4} + C$$Comprobación derivando: $\frac{1}{4}\bigl(2e^{2x} + 2(2x-1)e^{2x}\bigr) = \frac{4x\,e^{2x}}{4} = x\,e^{2x}$ ✓.

Regla de Barrow con $F(x) = \frac{(2x-1)e^{2x}}{4}$:$$\int_{-1}^{0} x\,e^{2x}\,dx = F(0) - F(-1) = \frac{-1}{4} - \frac{-3\,e^{-2}}{4} = \frac{3}{4e^{2}} - \frac{1}{4} = \frac{3 - e^{2}}{4e^{2}} \approx -0{,}1485$$Comprobación. El resultado es negativo, como debe ser: en $(-1, 0)$ el factor $x$ es negativo y $e^{2x} > 0$, así que la función está por debajo del eje. (No se pide un área, así que se deja con su signo.)