Límites y continuidad

a) Sustituyendo $x = -2$:$$\text{numerador: } -8 + 12 - 4 = 0, \qquad \text{denominador: } -8 + 20 - 16 + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{0}{0}$$Factorizamos por Ruffini dividiendo entre $x + 2$ (dos veces, porque el cociente vuelve a anularse en $-2$):$$x^3 + 3x^2 - 4 = (x + 2)(x^2 + x - 2) = (x + 2)^2(x - 1)$$$$x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = (x + 2)(x^2 + 3x + 2) = (x + 2)^2(x + 1)$$Simplificando $(x + 2)^2$ (en el límite $x \ne -2$):$$\lim_{x \to -2} \frac{(x + 2)^2(x - 1)}{(x + 2)^2(x + 1)} = \lim_{x \to -2} \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{-3}{-1} = 3$$b) Sustituyendo $x = 0$: $\frac{0\cdot\ln 1}{2 - 2\cos 0} = \frac{0}{0}$. Numerador y denominador son derivables cerca de $0$, así que aplicamos L'Hôpital:$$\lim_{x \to 0} \frac{x \ln(x + 1)}{2 - 2\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1) + \dfrac{x}{x + 1}}{2\operatorname{sen} x}$$(derivada del producto en el numerador). Vuelve a dar $\frac{0 + 0}{0} = \frac{0}{0}$, así que aplicamos L'Hôpital otra vez. La derivada de $\frac{x}{x+1}$ es $\frac{1}{(x+1)^2}$:$$= \lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{(x + 1)^2}}{2\cos x} = \frac{1 + 1}{2\cdot 1} = 1$$Comprobación con infinitésimos equivalentes: cerca de $0$, $\ln(1 + x) \sim x$ y $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$, así que el cociente se comporta como $\frac{x\cdot x}{2\cdot\frac{x^2}{2}} = 1$ ✓.