Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Castilla-La Mancha · 2017 · Septiembre · Opción A

Enunciado

a) Determina el valor de

k \in \mathbb{R}

para que la siguiente función sea continua en

x = 0

. (1,5 puntos)

f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \left(\dfrac{x+1}{2x+1}\right)^{1/x} & \text{si } x < 0 \\[2ex] 6x + k & \text{si } x \geq 0 \end{array}\right.

b) Enuncia el teorema de Bolzano y comprueba si la ecuación

\cos x = 2 - x

tiene alguna solución real en el intervalo

[0, 2\pi]

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ k = e^{-1} = \frac{1}{e}\;}

\boxed{\;\text{b)}\ g(x) = \cos x - 2 + x \text{ es continua, } g(0) = -1 < 0,\ g(2\pi) = 2\pi - 1 > 0 \Rightarrow \text{hay solución en } (0, 2\pi)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Para que

f

sea continua en

x = 0

los dos límites laterales tienen que coincidir con

f(0)

. Por la derecha todo es fácil (es un polinomio): vale

k

. Por la izquierda aparece una potencia cuya base tiende a

1

y cuyo exponente se dispara: es la indeterminación

1^{\infty}

, que se resuelve con la fórmula

\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x)\,\left(f(x) - 1\right)} \quad \text{cuando } f(x) \to 1,\ g(x) \to \pm\infty.

b) Pasamos todo a un lado,

g(x) = \cos x - 2 + x

, y buscamos un cambio de signo de

g

en los extremos del intervalo. Como

g

es continua, Bolzano garantiza una raíz.

Desarrollo

a) Límite por la derecha y valor en $0$ . Para

x \geq 0

f(x) = 6x + k

es un polinomio:

f(0) = k, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (6x + k) = k.

Límite por la izquierda. Cuando

x \to 0^-

, la base

\frac{x+1}{2x+1} \to \frac{1}{1} = 1

y el exponente

\frac{1}{x} \to -\infty

: indeterminación

1^{\infty}

. Aplicamos la fórmula:

\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x+1}{2x+1}\right)^{1/x} = e^{L}, \qquad L = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}\left(\frac{x+1}{2x+1} - 1\right).

Operando dentro del paréntesis:

\frac{x+1}{2x+1} - 1 = \frac{x + 1 - 2x - 1}{2x+1} = \frac{-x}{2x+1},

L = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}\cdot\frac{-x}{2x+1} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{2x+1} = -1.

Por tanto

\lim_{x \to 0^-} f(x) = e^{-1} = \frac{1}{e}.

(Numéricamente, con

x = -0{,}001

la expresión vale

0{,}3673\ldots

, y

\frac{1}{e} = 0{,}3679\ldots

✓.)

Condición de continuidad.

\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x) = f(0)

k = \frac{1}{e} \approx 0{,}368.

b) Teorema de Bolzano. Si

g

es una función continua en un intervalo cerrado

[a, b]

g(a)

g(b)

tienen signos opuestos, entonces existe al menos un

c \in (a, b)

tal que

g(c) = 0

.

Aplicación. La ecuación

\cos x = 2 - x

equivale a

g(x) = 0

con

g(x) = \cos x - 2 + x.

$g$ es continua en $[0, 2\pi]$ (suma de un coseno y un polinomio, continuas en todo $\mathbb{R}$ ).
$g(0) = \cos 0 - 2 + 0 = 1 - 2 = -1 < 0$ .
$g(2\pi) = \cos 2\pi - 2 + 2\pi = 2\pi - 1 \approx 5{,}28 > 0$ .

Se cumplen las hipótesis, así que existe

c \in (0, 2\pi)

con

g(c) = 0

, es decir,

\cos c = 2 - c

: la ecuación tiene al menos una solución real en $[0, 2\pi]$ (numéricamente,

c \approx 2{,}99

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) no basta con «sustituir»: $1^{\infty}$ es una indeterminación y hay que resolverla. La fórmula $e^{\lim g\,(f-1)}$ es lo más rápido; cuida el signo al restar $1$ a la fracción.

En b) el enunciado del teorema puntúa: di «continua en el intervalo cerrado» y «signos opuestos en los extremos». Y al aplicarlo, justifica la continuidad de $g$ antes de evaluar.