FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2026 · Reserva 1
Enunciado
El satélite Hope, que está en órbita elíptica alrededor del planeta Marte, fue enviado por la agencia de los Emiratos Árabes Unidos en el año 2020. La misión de este satélite es recoger datos sobre el clima marciano, las tormentas de polvo, así como analizar la presencia de vapor de agua para estimar si Marte fue un lugar habitable en el pasado. La sonda cuenta con una cámara digital de alta resolución y dos espectrómetros, uno infrarrojo y otro ultravioleta. El periodo de su órbita es de 5353 horas, la distancia más corta con respecto al centro de Marte (periastro) es de 23000 km23000\,\text{km} y la más larga (apoastro) de 45000 km45000\,\text{km}. La masa del satélite es de 1350 kg1350\,\text{kg} y el módulo del momento angular del satélite en la órbita es 4,86⋅1013 kg m2 s−14{,}86\cdot 10^{13}\ \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-1}. Determine:

a) (1 punto) La masa del planeta Marte.

b) (1 punto) La velocidad del satélite en el apoastro y en el periastro.

c) (0,5 puntos) La energía del satélite en la órbita.

Dato: Constante de la Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}.
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Resultado
  MMarte=6,39⋅1023 kg  \boxed{\;M_{\text{Marte}} = 6{,}39\cdot 10^{23}\ \text{kg}\;}  va=800 m/svp=1,57⋅103 m/s  \boxed{\;v_a = 800\ \text{m/s}\qquad v_p = 1{,}57\cdot 10^{3}\ \text{m/s}\;}  E=−8,46⋅108 J  \boxed{\;E = -8{,}46\cdot 10^{8}\ \text{J}\;}
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Estrategia

La órbita es elíptica, así que no vale igualar la fuerza gravitatoria a la centrípeta con un único radio. Hay que tirar de las tres herramientas que sí sirven para cualquier órbita cerrada:
  • La tercera ley de Kepler, con el semieje mayor aa en lugar del radio: aa es la media del periastro y del apoastro. Con el periodo, da la masa de Marte.
  • La conservación del momento angular: en el periastro y en el apoastro la velocidad es perpendicular al radio, así que L=m r vL = m\,r\,v y la velocidad sale directamente. Más cerca, más rápido.
  • La energía mecánica de una órbita elíptica, que solo depende del semieje mayor: E=−GMm/2aE = -GMm/2a.
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Desarrollo

a) Pasamos los datos al SI. El semieje mayor es la mitad de la suma de las distancias máxima y mínima al centro de Marte:a=rp+ra2=2,3⋅107+4,5⋅1072=3,40⋅107 ma = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{2{,}3\cdot 10^{7} + 4{,}5\cdot 10^{7}}{2} = 3{,}40\cdot 10^{7}\ \text{m}T=53⋅3600=1,908⋅105 sT = 53\cdot 3600 = 1{,}908\cdot 10^{5}\ \text{s}La tercera ley de Kepler (que se deduce de la gravitación para una órbita circular y vale para la elíptica cambiando el radio por aa) esT2=4π2G M a3⟹M=4π2a3G T2T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,a^3 \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{4\pi^2 a^3}{G\,T^2}M=4π2 (3,40⋅107)36,67⋅10−11 (1,908⋅105)2=6,39⋅1023 kgM = \frac{4\pi^2\,(3{,}40\cdot 10^{7})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\,(1{,}908\cdot 10^{5})^2} = 6{,}39\cdot 10^{23}\ \text{kg}b) La fuerza gravitatoria es central, así que el momento angular del satélite se conserva a lo largo de toda la órbita. En el periastro y en el apoastro el vector de posición y la velocidad son perpendiculares, de modo que el módulo de L⃗=r⃗×mv⃗\vec L = \vec r\times m\vec v es simplementeL=m r v⟹v=Lm rL = m\,r\,v \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{L}{m\,r}En el apoastro:va=4,86⋅10131350⋅4,5⋅107=800 m/sv_a = \frac{4{,}86\cdot 10^{13}}{1350\cdot 4{,}5\cdot 10^{7}} = 800\ \text{m/s}En el periastro:vp=4,86⋅10131350⋅2,3⋅107=1,57⋅103 m/sv_p = \frac{4{,}86\cdot 10^{13}}{1350\cdot 2{,}3\cdot 10^{7}} = 1{,}57\cdot 10^{3}\ \text{m/s}Como ra va=rp vpr_a\,v_a = r_p\,v_p, el satélite va más deprisa cuanto más cerca está de Marte (segunda ley de Kepler).
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
En la simulación se ha usado el radio real de Marte (unos 3390 km3390\,\text{km}), que el enunciado no da ni hace falta: solo sirve para dibujar el planeta. El satélite parte del periastro.

c) La energía mecánica de una órbita elíptica es la de una circular de radio igual al semieje mayor:E=−G M m2a=−6,67⋅10−11⋅6,39⋅1023⋅13502⋅3,40⋅107=−8,46⋅108 JE = -\frac{G\,M\,m}{2a} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}39\cdot 10^{23}\cdot 1350}{2\cdot 3{,}40\cdot 10^{7}} = -8{,}46\cdot 10^{8}\ \text{J}Se puede comprobar sumando la energía cinética y la potencial en el periastro:E=12 m vp2−G M mrp=1,65⋅109−2,50⋅109≈−8,5⋅108 JE = \tfrac12\,m\,v_p^2 - \frac{G\,M\,m}{r_p} = 1{,}65\cdot 10^{9} - 2{,}50\cdot 10^{9} \approx -8{,}5\cdot 10^{8}\ \text{J}que coincide dentro del redondeo de los datos. El signo negativo indica que el satélite está ligado a Marte.
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Consejo

En una órbita elíptica no uses v=GM/rv = \sqrt{GM/r}: esa fórmula es solo para órbitas circulares. Para la velocidad en el periastro o el apoastro, la vía directa es el momento angular, L=m r vL = m\,r\,v.

En Kepler y en la energía, el «radio» es el semieje mayor a=(rp+ra)/2a = (r_p + r_a)/2. Y convierte el periodo a segundos y los kilómetros a metros antes de elevar al cubo: es donde más se falla.
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