FísicaDifícil2,5 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Una lámina de vidrio de espesor

d

y con índice de refracción

n_{vidrio} = 1{,}55

flota sobre una capa de agua con índice de refracción

n_{agua} = 1{,}33

. Por encima de la lámina de vidrio se encuentra el aire. Cuando un rayo de luz monocromática de frecuencia

f = 7\cdot 10^{14}\,\text{Hz}

incide desde el agua hacia la lámina de vidrio con un ángulo de incidencia

\alpha = 40^\circ

se observa que entre el punto de entrada a la lámina (A) y el de salida (B) hay una distancia horizontal de

2\,\text{cm}

(ver figura).

Lámina de vidrio de espesor d flotando sobre agua, con aire encima. Un rayo sube por el agua formando un ángulo α con la normal (línea de puntos vertical), entra en el vidrio por el punto A de la cara inferior y sale al aire por el punto B de la cara superior; entre las verticales de A y B hay 2 cm

a) (0,5 puntos) Determine las longitudes de onda del rayo en el agua y en el vidrio.

b) (1,5 puntos) Halle el espesor del vidrio,

d

, y el tiempo que tarda el rayo en atravesarlo.

c) (0,5 puntos) Calcule el ángulo de incidencia mínimo del rayo sobre la superficie de la interfase agua-vidrio para que la luz no salga al aire.

Datos: Índice de refracción del aire,

n_{aire} = 1

; Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lambda_{agua} = 322\ \text{nm}\qquad \lambda_{vidrio} = 276\ \text{nm}\;}

\boxed{\;d = 3{,}02\ \text{cm}\qquad t = 1{,}87\cdot 10^{-10}\ \text{s}\;}

\boxed{\;\alpha_{\text{mín}} = 48{,}8^\circ\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al cambiar de medio la frecuencia no cambia; cambia la velocidad,

v = c/n

, y con ella la longitud de onda,

\lambda = v/f

.

En b) la ley de Snell en la cara inferior da el ángulo

\beta

del rayo dentro del vidrio (medido desde la normal, que es vertical). En el triángulo rectángulo que forman el rayo AB, el espesor

d

(cateto vertical) y los

2\,\text{cm}

horizontales,

\tan\beta = 2\,\text{cm}/d

. La longitud de AB entre la velocidad en el vidrio da el tiempo.

En c), para que la luz no salga al aire tiene que haber reflexión total en la cara superior (vidrio-aire). Como las dos caras son paralelas, el ángulo de refracción en la de abajo es el de incidencia en la de arriba, y Snell encadenado da una condición directa sobre

\alpha

Desarrollo

a) Velocidades y longitudes de onda, con

f = 7\cdot 10^{14}\,\text{Hz}

en los dos medios:

\lambda_{agua} = \frac{c}{n_{agua}\,f} = \frac{3\cdot 10^{8}}{1{,}33\cdot 7\cdot 10^{14}} = 3{,}22\cdot 10^{-7}\ \text{m} = 322\ \text{nm}

\lambda_{vidrio} = \frac{c}{n_{vidrio}\,f} = \frac{3\cdot 10^{8}}{1{,}55\cdot 7\cdot 10^{14}} = 2{,}76\cdot 10^{-7}\ \text{m} = 276\ \text{nm}

En el vidrio, más refringente, la luz va más despacio y su longitud de onda es menor.

b) Ley de Snell en la cara agua-vidrio (A):

n_{agua}\,\text{sen}\,\alpha = n_{vidrio}\,\text{sen}\,\beta\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\beta = \frac{1{,}33\,\text{sen}\,40^\circ}{1{,}55} = 0{,}552\quad\Longrightarrow\quad \beta = 33{,}5^\circ

El rayo se acerca a la normal, como corresponde al pasar a un medio de mayor índice. Dentro de la lámina avanza

2\,\text{cm}

en horizontal mientras sube

d

\tan\beta = \frac{2\,\text{cm}}{d}\quad\Longrightarrow\quad d = \frac{2\,\text{cm}}{\tan 33{,}5^\circ} = \frac{2}{0{,}661} = 3{,}02\ \text{cm}

Longitud del recorrido dentro del vidrio:

\overline{AB} = \sqrt{d^2 + (2\,\text{cm})^2} = \sqrt{3{,}025^2 + 2^2} = 3{,}626\ \text{cm}

Tiempo, con

v_{vidrio} = c/n_{vidrio} = 1{,}94\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

t = \frac{\overline{AB}}{v_{vidrio}} = \frac{3{,}626\cdot 10^{-2}\cdot 1{,}55}{3\cdot 10^{8}} = 1{,}87\cdot 10^{-10}\ \text{s}

c) En la cara vidrio-aire hay reflexión total si el ángulo de incidencia

\beta

alcanza el ángulo límite:

n_{vidrio}\,\text{sen}\,\beta \ge n_{aire}\cdot\text{sen}\,90^\circ = 1

Pero, por Snell en la cara de abajo,

n_{vidrio}\,\text{sen}\,\beta = n_{agua}\,\text{sen}\,\alpha

. La condición queda:

n_{agua}\,\text{sen}\,\alpha \ge 1\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\alpha_{\text{mín}} = \frac{1}{1{,}33} = 0{,}752\quad\Longrightarrow\quad \alpha_{\text{mín}} = 48{,}8^\circ

Curiosamente el resultado no depende del vidrio: con láminas paralelas,

n\,\text{sen}\,\theta

se conserva de una cara a otra, y es lo mismo que si la luz pasara directamente del agua al aire.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los ángulos de la ley de Snell se miden siempre desde la normal, no desde la superficie. Con la normal vertical, el desplazamiento horizontal dentro de la lámina es $d\tan\beta$ .

En una lámina de caras paralelas, el ángulo de refracción en la primera cara es el de incidencia en la segunda: encadena las leyes de Snell y verás que $n\,\text{sen}\,\theta$ es el mismo en todos los medios.