Un electrón de carga −e y un positrón de carga +e se encuentran inicialmente fijos en el plano xy en las posiciones (0,6)nm y (0,−6)nm, respectivamente.
a) (1,25 puntos) Obtenga el campo eléctrico en el punto (8,0)nm debido a ambas partículas.
b) (1,25 puntos) Si al positrón se le imprime una velocidad de −1,5⋅105ms−1j, permaneciendo fijo el electrón, determine la máxima distancia de alejamiento entre ambas partículas.
Datos: Constante de la ley de Coulomb, K=9⋅109Nm2C−2; Valor absoluto de la carga del electrón y del positrón, e=1,6⋅10−19C; Masa del electrón y del positrón, me=9,1⋅10−31kg.
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Resultado
E(8,0)=1,73⋅107jNC−1rmaˊx=2,57⋅10−8m≈25,7nm
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Estrategia
En a) aplicamos el principio de superposición: cada partícula crea su campo y se suman como vectores. El punto (8,0) está a la misma distancia de las dos y las cargas son iguales en valor absoluto, así que los dos campos tienen el mismo módulo. El del electrón apunta hacia el electrón y el del positrón se aleja del positrón: las componentes horizontales se anulan y las verticales se suman.
En b) el positrón sale disparado hacia abajo, alejándose del electrón, que lo atrae. Se va frenando hasta pararse y volver. Como la fuerza eléctrica es conservativa, la energía mecánica se conserva: en el punto de máximo alejamiento toda la energía es potencial. Si la energía total es negativa, el positrón no escapa y esa distancia existe.
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Desarrollo
a) Distancia de cada carga al punto P(8,0)nm:d=82+62=10nm=1,0⋅10−8mMódulo del campo que crea cada partícula en P (es el mismo para las dos):E1=Kd2e=9⋅109(1,0⋅10−8)21,6⋅10−19=1,44⋅107NC−1Las direcciones salen de los vectores unitarios. El campo del electrón (carga negativa) apunta de P hacia el electrón, en la dirección (−8,6)/10; el del positrón apunta del positrón hacia P, en la dirección (8,6)/10:E−e=1,44⋅107(−0,8i+0,6j)NC−1E+e=1,44⋅107(0,8i+0,6j)NC−1Electrón en (0, 6) nm y positrón en (0, −6) nm, ambos a 10 nm del punto P (8, 0) nm. En P, el campo del electrón apunta hacia arriba y a la izquierda, hacia el electrón; el del positrón, hacia arriba y a la derecha, alejándose del positrón. Su suma, el campo total, apunta vertical hacia arribaSumando, las componentes x se cancelan:E=E−e+E+e=2⋅1,44⋅107⋅0,6j=1,73⋅107jNC−1El campo total es paralelo al eje Y y apunta hacia +y: del positrón hacia el electrón, como en cualquier dipolo visto desde su mediatriz.
b) El positrón está en (0,−6) y se lanza en sentido −j, justo en la recta que lo une con el electrón: se mueve en línea recta, alejándose, mientras la atracción lo frena.
Energía cinética inicial:Ec,A=21mev2=21⋅9,1⋅10−31⋅(1,5⋅105)2=1,02⋅10−20JEnergía potencial inicial, con las cargas separadas rA=12nm (son de signo contrario, así que es negativa):Ep,A=−KrAe2=−9⋅1091,2⋅10−8(1,6⋅10−19)2=−1,92⋅10−20JLa energía mecánica esEmec=Ec,A+Ep,A=1,02⋅10−20−1,92⋅10−20=−8,96⋅10−21JEs negativa: el positrón no tiene energía para escapar y se para a una distancia rmaˊx, donde su energía cinética es nula. Conservación de la energía:Emec=−Krmaˊxe2⟹rmaˊx=∣Emec∣Ke2=8,96⋅10−219⋅109(1,6⋅10−19)2=2,57⋅10−8mEs decir, unos 25,7nm: algo más del doble de la separación inicial.
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Consejo
En a), el sentido del campo lo decide el signo de la carga: hacia la negativa y alejándose de la positiva. Un esquema con las dos flechas en P te dice al momento qué componentes se anulan antes de hacer ninguna cuenta.
En b), no olvides el signo de la energía potencial: con cargas de signo contrario es negativa. Si la sumas como positiva, la energía total sale positiva y parecería que el positrón escapa al infinito. Y pasa los nanómetros a metros antes de dividir.
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