FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio
Comunidad de Madrid · 2025 · Junio
Enunciado
Eris es un planeta enano del sistema solar descubierto en enero de 2005 por un equipo del observatorio del Monte Palomar dirigido por Michael E. Brown. Es el objeto transneptuniano más masivo, el segundo más grande después de Plutón, y el cuerpo más grande del sistema solar que no ha sido visitado por una sonda espacial. Tiene un diámetro de 2330 km2330\,\text{km}, ligeramente inferior al de Plutón, y su densidad es de 2,5 g cm−32{,}5\,\text{g}\,\text{cm}^{-3}. La órbita de Eris es muy excéntrica; actualmente el planeta se encuentra a su máxima distancia del Sol (afelio), a 1,45⋅1013 m1{,}45\cdot 10^{13}\,\text{m}, llegando a situarse a 5,24⋅1012 m5{,}24\cdot 10^{12}\,\text{m} del Sol durante su perihelio.

a) (1 punto) Calcule la masa del planeta y el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.

b) (1,5 puntos) Sabiendo que la energía mecánica de un objeto de masa m1m_1 que orbita alrededor de un objeto de masa m2m_2 con una órbita elíptica de semieje mayor aa esEmec=−G m1m22a,E_{mec} = -\frac{G\,m_1 m_2}{2a},donde GG es la constante de la gravitación universal, halle la energía mecánica de Eris y calcule la velocidad orbital que tendrá en el perihelio.

Datos: Constante de gravitación universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa del Sol, MSol=1,99⋅1030 kgM_{Sol} = 1{,}99\cdot 10^{30}\,\text{kg}.
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Resultado
  ME=1,66⋅1022 kgg0=0,814 m s−2  \boxed{\;M_E = 1{,}66\cdot 10^{22}\ \text{kg}\qquad g_0 = 0{,}814\ \text{m}\,\text{s}^{-2}\;}  Emec=−1,11⋅1029 Jvp=6,10⋅103 m s−1  \boxed{\;E_{mec} = -1{,}11\cdot 10^{29}\ \text{J}\qquad v_p = 6{,}10\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}
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Estrategia

En a) Eris es una esfera de densidad conocida: con el radio (la mitad del diámetro) sacamos el volumen, y la masa es densidad por volumen. Con masa y radio, la gravedad en la superficie es la de siempre, g0=GM/R2g_0 = GM/R^2. Ojo con las unidades: la densidad viene en g/cm3\text{g}/\text{cm}^3 y hay que pasarla a kg/m3\text{kg}/\text{m}^3.

En b) la órbita es una elipse, no una circunferencia. Nos dan la fórmula de su energía mecánica, que solo pide el semieje mayor: la mitad de la suma de la distancia en el afelio y en el perihelio. Como la gravedad es conservativa, esa energía es la misma en todo punto de la órbita; en el perihelio la escribimos como cinética más potencial y despejamos la velocidad.
2

Desarrollo

a) Radio y volumen de Eris, en unidades del SI:R=2330 km2=1165 km=1,165⋅106 mR = \frac{2330\,\text{km}}{2} = 1165\,\text{km} = 1{,}165\cdot 10^{6}\ \text{m}V=43πR3=43π (1,165⋅106)3=6,62⋅1018 m3V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi\,(1{,}165\cdot 10^{6})^3 = 6{,}62\cdot 10^{18}\ \text{m}^3La densidad, en el SI: ρ=2,5 g cm−3=2500 kg m−3\rho = 2{,}5\,\text{g}\,\text{cm}^{-3} = 2500\,\text{kg}\,\text{m}^{-3}. La masa es:ME=ρ V=2500⋅6,62⋅1018=1,66⋅1022 kgM_E = \rho\,V = 2500\cdot 6{,}62\cdot 10^{18} = 1{,}66\cdot 10^{22}\ \text{kg}La gravedad en la superficie es el campo gravitatorio creado por Eris a una distancia RR de su centro:g0=G MER2=6,67⋅10−11⋅1,66⋅1022(1,165⋅106)2=0,814 m s−2g_0 = \frac{G\,M_E}{R^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}66\cdot 10^{22}}{(1{,}165\cdot 10^{6})^2} = 0{,}814\ \text{m}\,\text{s}^{-2}Es menos de una décima parte de la gravedad terrestre: Eris es pequeño y poco denso.

b) En el afelio y en el perihelio Eris está en los dos extremos del eje mayor, con el Sol en uno de los focos. Por eso el eje mayor mide ra+rpr_a + r_p y el semieje mayor es:a=ra+rp2=1,45⋅1013+5,24⋅10122=9,87⋅1012 ma = \frac{r_a + r_p}{2} = \frac{1{,}45\cdot 10^{13} + 5{,}24\cdot 10^{12}}{2} = 9{,}87\cdot 10^{12}\ \text{m}Energía mecánica de Eris, con m1=MEm_1 = M_E y m2=MSolm_2 = M_{Sol}:Emec=−G MSol ME2a=−6,67⋅10−11⋅1,99⋅1030⋅1,66⋅10222⋅9,87⋅1012=−1,11⋅1029 JE_{mec} = -\frac{G\,M_{Sol}\,M_E}{2a} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}99\cdot 10^{30}\cdot 1{,}66\cdot 10^{22}}{2\cdot 9{,}87\cdot 10^{12}} = -1{,}11\cdot 10^{29}\ \text{J}Es negativa, como corresponde a una órbita cerrada: Eris está ligado al Sol.

La energía mecánica se conserva, así que en el perihelio (r=rpr = r_p) vale lo mismo, escrita como cinética más potencial:−G MSol ME2a=12ME vp2−G MSol MErp-\frac{G\,M_{Sol}\,M_E}{2a} = \frac{1}{2}M_E\,v_p^2 - \frac{G\,M_{Sol}\,M_E}{r_p}La masa de Eris se cancela y queda:vp=2 G MSol(1rp−12a)v_p = \sqrt{2\,G\,M_{Sol}\left(\frac{1}{r_p} - \frac{1}{2a}\right)}vp=2⋅6,67⋅10−11⋅1,99⋅1030(15,24⋅1012−11,974⋅1013)=3,72⋅107=6,10⋅103 m s−1v_p = \sqrt{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}99\cdot 10^{30}\left(\frac{1}{5{,}24\cdot 10^{12}} - \frac{1}{1{,}974\cdot 10^{13}}\right)} = \sqrt{3{,}72\cdot 10^{7}} = 6{,}10\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}Comprobación: con la misma fórmula en el afelio sale va=2,20⋅103 m s−1v_a = 2{,}20\cdot 10^{3}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}, y se cumple rp vp=ra va≈3,20⋅1016 m2 s−1r_p\,v_p = r_a\,v_a \approx 3{,}20\cdot 10^{16}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-1}: la conservación del momento angular (segunda ley de Kepler). Eris va casi tres veces más deprisa cerca del Sol que lejos de él.
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Consejo

El radio es la mitad del diámetro, y en el volumen va al cubo: equivocarse ahí multiplica la masa por ocho. Pasa también la densidad: 1 g/cm3=1000 kg/m31\,\text{g}/\text{cm}^3 = 1000\,\text{kg}/\text{m}^3.

En una órbita elíptica no vale v=GM/rv = \sqrt{GM/r}, que es solo para órbitas circulares. La velocidad cambia a lo largo de la órbita y se saca de la conservación de la energía (o del momento angular), con el semieje mayor a=(ra+rp)/2a = (r_a + r_p)/2 en la energía total.
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